Calcule a integral abaixo sem usar tabela:

∫ 0 2 d s 4 - s 2    

Passo 1

Vamos aplicar a técnica de integração por substituição . Neste caso, a fim de simplificar nossa raiz, vamos substituir s por uma função de u e que resulte em um ds=f’(u) conveniente que irá possibilitar a integração. Assim temos:

∫ 0 2 d s 4 - s 2    

s = 2 s e n ( u ) d s = 2 cos ⁡ u   d u

Além disso, vamos mudar os limites de integração fazendo k = f(u), em que k são os limites de integração inicial da integral, e o valor de u que satisfizer a operação irá substituir cada um respectivamente, a fim de facilitar os cálculos. Lembre-se que ao fazer isso, após integrar você não precisa substituir u pela função atribuída a ele.

2 = 2 s e n u ⇒ 1 = s e n u ⇒ u = π 2

0 = 2 s e n u ⇒ 0 = s e n u ⇒ u = 0

Passo 2

Aplicando a substituição temos:

∫ 0 2 d s 4 - s 2     = ∫ 0 π 2 1 4 - 4 s e n 2 u 2 cos ⁡ u   d u   =   ∫ 0 π 2 1 2 1 - s e n 2 u   2 cos ⁡ u d u =

∫ 0 π 2   ⁡ 1 cos 2 ⁡ ( u )   cos ⁡ u d u = ∫ 0 π 2 d u    

Passo 3

Agora utilizaremos a regra de integração polinomial que é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Assim:

∫ 0 π 2 d u   = ( u ) π 2 0

Passo 4

Por fim substituiremos os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

  ( u ) π 2 0 = π 2 - 0 = π 2

Resposta

π 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados