Calcule a integral abaixo:

∫ 2 4 d t t t 2 - 4    

Passo 1

Vamos aplicar a técnica de integração por substituição . Neste caso, a fim de simplificar nossa raiz, vamos substituir y por uma função de u e que resulte em um dy=f’(u) conveniente que irá possibilitar a integração. Assim temos:

∫ 2 4 d t t t 2 - 4  

t = 2 u d t = 2   d u

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

∫ 2 4 d t t t 2 - 4     = ∫ 2 4 2 d u 2 u 4 u 2 - 4   =   ∫ 2 4 d u 2 u u 2 - 1   = 1 2 ∫ 2 4 d u u u 2 - 1  

Passo 3

Chegamos em uma integral que é uma integral direta trigonométrica . Assim, temos que:

1 2 ∫ 2 4 d u u u 2 - 1   = 1 2 ( sec - 1 ⁡   u   ) 4 2  

Uma dica para esse tipo de questão é se perguntar “qual função eu derivo para obter esse resultado?” . Neste caso a derivada de sec - 1 ⁡ y = 1 y y 2 - 1     , como a integral é a operação inversa da derivada você chega quase de imediato na sua respota.

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

1 2 ( sec - 1 ⁡   u   ) 4 2   = 1 2 ( sec - 1 ⁡   t 2   ) 4 2  

Passo 5

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

1 2 ( sec - 1 ⁡   t 2   ) 4 2   = 1 2 ( sec - 1 ⁡ 2 - sec - 1 ⁡ 1 ) = 1 2 π 3 - 0 = π 6

Resposta

π 6

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