Enunciado

Nos exercícios de 1 a 25, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente , calcule-a.

22. ∫ 0 2 x d x 1 - x  

Passo 1

Para determinar se a integral é convergente ou divergente, devemos obter o seu valor primeiro para com o resultado em mãos afirmar se ela convergiu para algum número ou divergiu para o infinito.

Quando se trabalha com integrais impróprias, devemos lembrar de analisar onde está havendo a descontinuidade para transformar a integral dada num limite ,com um t qualquer tendendo para onde ela é descontínua, da integral dada.

Devemos também, as vezes , fazer algumas jogadinhas nas integrais para parecer com alguma integral que apresenta o seu resultado já pronto e assim poupar tempo nas resoluções.

Passo 2

Ao analisarmos a integral dada percebemos que existe uma descontinuidade infinita em 1 e, sendo assim podemos reescrever a integral dada da seguinte forma:

∫ 0 2 x d x 1 - x   = lim t → 1 - ⁡ ∫ 0 t 1 x - 1 - 1 d x + lim t → 1 + ⁡ ∫ t 2 1 x - 1 - 1 d x =

Nota: Observe que para transformar a integral na expressão acima foi somado e subtraído 1 no denominador.

= lim t → 1 - ⁡ - l n 1 - x - x 0 t + lim t → 1 + ⁡ - l n 1 - x - x t 2 =

l i m t → 1 - - ln ⁡ 1 - t - t + l i m t → 1 + ln ⁡ t - 1 + t - 2

Como nenhum desses limites existe, a integral imprópria é divergente.

Resposta

a integral imprópria é divergente.

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Se f t é contínua para t ≥ 0 , a Transformada de Laplace de f é a função F definida por F s = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t e o domínio de F é conjunto de todos os números s para os quais a integral converge.
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ - ∞ - 1 e - 2 t d t
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ 1 ∞ 1 3 x + 1 2 d x
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ - ∞ ∞ x 1 + x 2 d x
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ - ∞ - 1 1 2 - w d w