Calcule a integral abaixo sem usar tabela:

∫ 2 ∞ 2 v 2 - v d v

Passo 1

Neste caso temos uma integral com um dos limites sendo infinito, logo temos uma integral imprópria . Por definição se existir uma função contínua f ( x ) em [ a , ∞ ) , então:

  ∫ a ∞ f x d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ a b f ( x ) d x

Assim:

∫ 2 ∞ 2 v 2 - v d v = lim b → ∞ ⁡ ∫ 2 b 2 v 2 - v d v

Passo 2

Integrando, temos:

∫ 2 ∞ 2 v 2 - v d v = lim b → ∞ ⁡ ( 2 ln ⁡ v - 1 v   ) ​ 2 b = lim b → ∞ ⁡ ( 2   l n b - 1 b - 2 ln ⁡ 2 - 1 2 )

Lembre-se também que de forma genérica a aplicação dos limites de integração é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Passo 3

Aplicando o limite, temos:

lim b → ∞ ⁡ ( 2   l n b - 1 b - 2 ln ⁡ 2 - 1 2 ) = 2 ln ⁡ 1 - 2 ln ⁡ 1 2 = ln ⁡ 4  

Resposta

ln ⁡ 4

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