Enunciado

Determine k para que se tenha

int_(- oo)^(+ oo) e^(k |t|) d t = 1

Passo 1

A função módulo é definida por

|t| = {[[t],[- t]] (s e t >= 0)/(s e t < 0))

Então podemos reescrever a integral, como a soma de 2 integrais

int_(- oo)^(+ oo) e^(k |t|) d t = int_(- oo)^0 e^(- k t) d t + int_0^(+ oo) e^(k t) d t

E ainda mais, podemos perceber a simetria da função, já que o módulo faz com que f (t) = f (- t) , então é verdadeiro afirmar que

int_(- oo)^0 e^(- k t) d t = int_0^(+ oo) e^(k t) d t

Logo

int_(- oo)^(+ oo) e^(k |t|) d t = 2 int_0^(+ oo) e^(k t) d t

Passo 2

Vamos então resolver a integral, como se trata de uma integral imprópria, vamos aplicar o limite

int_0^(+ oo) e^(k t) d t = underset(A -> + oo)(lim) int_0^A e^(k t) d t

= underset(A -> + oo)(lim) [(e^(k t))/(k)]_0^A = underset(A -> + oo)(lim) [(e^(k A))/(k) - (e^0)/(k)]

Se k > 0 , então e^(k A) -> + oo quando A -> + oo , e a igualdade do enunciado não seria possível, então vamos assumir que k < 0 e^(k A) -> 0

underset(A -> + oo)(lim) [(e^(k A))/(k) - (e^0)/(k)] = - (1)/(k)

Passo 3

Voltando a igualdade

int_(- oo)^(+ oo) e^(k |t|) d t = 2 int_0^(+ oo) e^(k t) d t = - (2)/(k)

E isso tem que satisfazer

int_(- oo)^(+ oo) e^(k |t|) d t = 1

Então

- (2)/(k) = 1

k = - 2

Resposta

k = - 2

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Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
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Calcule os valores de p para os quais as integrais convergem: ∫ 1 2 d x x ( ln ⁡ x ) p ∫ 2 ∞ d x x ( ln ⁡ x ) p