Calcule a integral abaixo sem usar tabela :

∫ - ∞ - 2 2 x 2 - 1   d x

Passo 1

Neste caso temos uma integral com um dos limites sendo infinito, logo temos uma integral imprópria . Por definição se existir uma função contínua f ( x ) em ( - ∞ , b ] , então:

  ∫ - ∞ b f x d x = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a b f ( x ) d x

Assim:

∫ - ∞ - 2 2 x 2 - 1   d x = lim a → - ∞ ⁡   ∫ a - 2 2 x 2 - 1 d x

Passo 2

Integrando, temos:

lim a → - ∞ ⁡   ∫ a - 2 2 x 2 - 1 d x = lim a → - ∞ ⁡   ∫ a - 2 1 x - 1 d x - ∫ a - 2 1 x + 1 d x =

lim a → - ∞ ⁡ ( ln ⁡ x - 1 )   ​ a - 2 - ( ln ⁡ x + 1 )   ​ a - 2 = lim a → - ∞ ⁡ ln ⁡ x - 1 x + 1   ​ a - 2 = lim a → - ∞ ⁡ ln ⁡ - 3 - 1 - ln ⁡ b - 1 b + 1  

Lembre-se também que de forma genérica a aplicação dos limites de integração é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Passo 3

Aplicando o limite, temos:

ln ⁡ 3 - ln ⁡ ( lim a → - ∞ ⁡ b - 1 b + 1 ) = ln ⁡ 3 - ln ⁡ 1 = ln ⁡ 3

Resposta

ln ⁡ 3

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