Enunciado

Determine o valor, ou valores, de c que satisfazem a equação:

f b - f a b - a = f ' ( c )

Que consta da conclusão do teorema de valor médio para

g x = x 3 ,     - 2 ≤ x ≤ 0 x 2 ,     0 < x ≤ 2

Passo 1

Primeiro, substituiremos os valores na fórmula de valor médio.

Em seguida, derivaremos a função dada e igualaremos ao valor encontrado no passo anterior.

Terminado isso, concluiremos os valores para os quais a equação é satisfeita.

Passo 2

Substituindo os valores do intervalo na função, temos:

f - 2 = - 2 3 = - 8

f 2 = 2 2 = 4

Substituindo na fórmula de valor médio:

f 2 - f - 2 2 - - 2

4 - - 8 4 = 12 4 = 3

Passo 3

Resolvendo a derivada, temos:

g ' x = 3 x ² ,     - 2 ≤ x ≤ 0 2 x ,     0 < x ≤ 2

Para o valor médio teremos:

Em - 2 ≤ x ≤ 0 :

3 x 2 = 3

x = 1

x 1 = + 1     e     x 2 = - 1

x 1 se encontra fora do intervalo estipulado, portanto de - 2 ≤ x ≤ 0 , apenas c = - 1 , atende ao teorema do valor médio.

Em 0 < x ≤ 2 :

2 x = 3

x = 3 / 2

Resposta

O teorema do valor médio é atendido por c = - 1   e   p o r   c = 3 2

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