Enunciado

Calcule a integral abaixo sem usar tabela:

int_0^4 (d x)/(sqrt(4 - x))

Passo 1

Observe que para x = 4 a integral não é definida, assim é uma integral imprópria. Temos então que:

int_0^4 (d x)/(sqrt(4 - x)) = underset(b -> 4)(lim) int_0^b (d x)/(sqrt(4 - x))

Passo 2

Vamos aplicar a regra da substituição .Lembre-se que a integração por substituição consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f ( x ) por uma variável simples ( u ) e que resulte em um d u = f ’ ( x ) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir

u = 4 - x e d u = - d x

Assim:

underset(b -> 4)(lim) int_0^b (d x)/(sqrt(4 - x)) = underset(b -> 4)(lim) int_0^b - (d u)/(sqrt(u))

Passo 3

Integrando, temos:

underset(b -> 4)(lim) int_0^b - (d u)/(sqrt(u)) = underset(b -> 4)(lim) int_0^b - u^(- (1)/(2)) d u = underset(b -> 4)(lim) - (u^((1)/(2)))/((1)/(2)) (​|_0^b = underset(b -> 4)(lim) - 2 sqrt(u) (​|_0^b

Lembre-se que a integração de um polinômio é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos e aplicando os limites de integração, temos:

underset(b -> 4)(lim) - 2 sqrt(4 - x) (​|_0^b = underset(b -> 4)(lim) - 2 (sqrt(4 - b) - sqrt(4))

Lembre-se também que de forma genérica a aplicação dos limites de integração é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Passo 5

Aplicando o limite, temos:

underset(b -> 4)(lim) - 2 (sqrt(4 - b) - sqrt(4)) = 4

Resposta

4

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