Calcule a integral abaixo sem usar tabela:

∫ 0 4 d x 4 - x  

Passo 1

Observe que para x = 4 a integral não é definida, assim é uma integral imprópria. Temos então que:

∫ 0 4 d x 4 - x = lim b → 4 ⁡ ∫ 0 b d x 4 - x

Passo 2

Vamos aplicar a regra da substituição .Lembre-se que a integração por substituição consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f ( x ) por uma variável simples ( u ) e que resulte em um d u = f ’ ( x ) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir

u = 4 - x         e           d u =   - d x  

Assim:

lim b → 4 ⁡ ∫ 0 b d x 4 - x =   lim b → 4 ⁡ ∫ 0 b - d u u

Passo 3

Integrando, temos:

lim b → 4 ⁡ ∫ 0 b - d u u =   lim b → 4 ⁡ ∫ 0 b - u - 1 2 d u =   lim b → 4 ⁡ - u 1 2 1 2 ​ 0 b = lim b → 4 ⁡ - 2 u   ​ 0 b

Lembre-se que a integração de um polinômio é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos e aplicando os limites de integração, temos:

lim b → 4 ⁡ - 2 4 - x   ​ 0 b = lim b → 4 ⁡ - 2 4 - b - 4

Lembre-se também que de forma genérica a aplicação dos limites de integração é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Passo 5

Aplicando o limite, temos:

lim b → 4 ⁡ - 2 4 - b - 4 = 4

Resposta

4

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