Calcule a integral sem usar tabelas

∫ 2 ∞ 2 t 2 - 1   d t

Passo 1

Se tratando de integrais impróprias, utilizamos uma mesma técnica com algumas variações

i :       ∫ a ∞ f ( x )   d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ a b f x d x

i i :       ∫ - ∞ a f ( x )   d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ b a f ( x )   d x

i i i :       ∫ - ∞ ∞ f ( x )   d x = ∫ - ∞ c f ( x )   d x + ∫ c ∞ f ( x )   d x   ,   c   é   u m   n ú m e r o   q u a l q u e r

No entanto, vamos resolver primeiro a integral de forma indefinida e, depois, nesse resultado aplicaremos o limite

Passo 2

Vamos, então, resolver nossa integral

∫ 2 t 2 - 1   d t = 2 ⋅ ∫ d t ( t + 1 ) ( t - 1 )

Para resolvermos a integral resultante, vamos utilizar a separação em frações parciais, dessa forma teremos

1 ( t + 1 ) ( t - 1 ) = A ( t + 1 ) + B ( t - 1 )

1 ( t + 1 ) ( t - 1 ) = A ⋅ ( t - 1 ) ( t + 1 ) ( t - 1 ) + B ⋅ ( t + 1 ) ( t + 1 ) ( t - 1 ) E s s a   i g u a l d a d e   s ó   é   s a t i s f e i t a   s e  

A + B = 0

- A + B = 1

→ A = - 1 2   e   B = 1 2

Dessa forma poderemos reescrever nossa integral como sendo

2 ⋅ ∫ - 1 / 2 ( t + 1 ) + 1 / 2 ( t - 1 )   d t = ln ⁡ t - 1 - ln ⁡ t + 1 + C = ln ⁡ t - 1 t + 1 + C

Passo 3

Aplicando a forma ( i ) descrita no primeiro passo vamos obter

∫ 2 ∞ 2 t 2 - 1   d t = lim b → ∞ ⁡ ∫ 2 b 2 t 2 - 1 d t =

lim b → ∞  ⁡ ln ⁡ t - 1 t + 1 b 2 =

lim b → ∞ ⁡ ln ⁡ b - 1 b + 1 - ln ⁡ 2 - 1 2 + 1 = ln ⁡ 1 - ln ⁡ 1 3 =   - ln ⁡ 1 - ln ⁡ 3 = ln ⁡ 3  

Resposta

ln ⁡ 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados