Calcule:

∫ - ∞ + ∞ 1 4 + x 2   d x

Passo 1

A função dada é par e simétrica, que significa que f x = f ( - x ) , isso acontece por conta da potência par do x e nenhuma potência ímpar. Como f x = f ( - x ) , que vale para qualquer x ∈ R , podemos afirmar que

∫ - ∞ + ∞ 1 4 + x 2   d x = 2 ∫ 0 + ∞ 1 4 + x 2   d x

Como se trata de uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

∫ - ∞ + ∞ 1 4 + x 2   d x = 2 ∫ 0 + ∞ 1 4 + x 2   d x = 2 lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A 1 4 + x 2   d x

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente, colocando 4 em evidência no denominador temos

= 2 lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A 1 4 1 + x 2 4   d x = 1 2 lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A 1 1 + x 2 4   d x

Fazendo então a substituição

u = x 2 ⇒ u 2 = x 2 4 d u = d x 2 ⇒ d x = 2   d u

Substituindo os limites

u 0 = 0 u A = A 2

E temos

1 2 lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A 1 1 + x 2 4   d x = 1 2 lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A / 2 2   d u 1 + u 2

= lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A / 2 d u 1 + u 2

Essa integral é elementar

lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A / 2 d u 1 + u 2 = lim A → + ∞ ⁡ arctg ⁡ u 0 A / 2

Passo 3

Substituindo os limites de integração temos

= lim A → + ∞ ⁡ arctg ⁡ A 2 - arctg ⁡ 0

Sabemos que arctg ⁡ 0 = 0 e que com A → + ∞ , A / 2 → + ∞ e o limite

lim x → + ∞ ⁡ arctg ⁡ x = π 2

Então

lim A → + ∞ ⁡ arctg ⁡ A 2 - arctg ⁡ 0 = π 2

Resposta

π 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados