Calcule a Integral abaixo:

10 – ∫ 0 π 6 3 cos 5 ⁡ 3 x d x

Passo 1

Primeiro vamos expandir a equação, observe:

3 ∫ 0 π 6 c o s 2 3 x   c o s 2 3 x   c o s   3 x   d x

Dado pela identidade trigonométrica, cos 2 ⁡ ( 3 x ) = 1 - s e n 2 3 x

Assim teremos:

3 ∫ 0 π 6 1 - sen 2 ⁡ 3 x 1 - sen 2 ⁡ 3 x c o s 3 x d x

Vamos realizar pelo método da substituição, dado:

u = s e n ( 3 x )

d u = 3 cos ⁡ ( 3 x )

d x = 1 d u = 1 3 cos ⁡ ( 3 x )  

Substituindo teremos:

3 ∫ 0 π 6 1 - u 2 1 - u 2 ⋅ c o s   3 x ⋅ 1 3 cos ⁡ 3 x d u

Resolvendo a integral temos:

3 ∫ 0 π 6 u 4 - 2 u 2 + 1 ⋅ cos ⁡ 3 x 3 cos ⁡ 3 x d u

3 ∫ 0 π 6 1 3 u 4 - 2 u 2 + 1 d u

Substituindo por udu, teremos:

3 3 ∫ 0 π 6 u 4 - 2 u 2 + 1   d u =   ∫ 0 π 6 u 4 - 2 u 2 + 1   d u  

Passo 2

Resolvendo a integral de forma indefinida:

u 5 5 - 2 u 3 3 + u

Substituindo para   u = sen ⁡ 3 x

s e n 5 3 x 5 - 2 s e n 3 3 x 3 + s e n   3 x

Passo 3

Resolvendo a integral como definida: s e n 5 3 x 5 - 2 s e n 3 3 x 3 + s e n   3 x + c 0 π 6

s e n 5 3 π 6 5 - 2 s e n 3 3 π 6 3 + s e n   3 π 6 + c - s e n 5 3 * 0 5 - 2 s e n 3 3 * 0 3 + s e n   3 ⋅ 0 + c

Seja sen ⁡ π 2 =   1   e sen ⁡ 0 = 0

  1 5 - 2 1 3 + 1 + C - 0 5 - 2 0 3 + 0 ⁡ + c

Resolvendo os cálculos teremos:

1 5 - 2 3 + 1 + c - 0 + 0 + 0 - c

1 5 - 2 3 + 1 =

3 15 - 10 15 + 15 15 = 8 15

Resposta

8 15

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