Calcule a Integral abaixo:

6 - ∫ cos 3 ⁡ 4 x   d x

Passo 1

Primeiro vamos expandir a equação, observe:

∫ cos 2 ⁡ 4 x cos ⁡ 4 x   d x

Dado pela identidade trigonométrica, cos 2 ⁡ 4 x = 1 - sen 2 ⁡ 4 x

Assim teremos:

∫ ( 1 - sen 2 ⁡ 4 x ) cos ⁡ 4 x   d x

Vamos realizar pelo método da substituição, dado:

u = sen ⁡ 4 x  

d u =   4 cos ⁡ 4 x

d x = 1 d u = 1 4 cos ⁡ 4 x

Substituindo teremos:

∫ ( 1 - sen 2 ⁡ 4 x ) ⋅ cos ⁡ 4 x ⋅ 1 4 cos ⁡ 4   x d u

Resolvendo a integral temos:

∫ ( 1 - sen 2 ⁡ 4 x ) cos ⁡ 4 x 4 cos ⁡ 4 x d u

∫ 1 - u 2 ⋅ 1 4 d u

Substituindo por udu, teremos:

1 4 ∫ 1 - u 2   d u

Passo 2

Resolvendo a integral:

1 4 u - u 3 3

Substituindo para   u = s e n   4 x

1 4 s e n   4 x - sin 3 ⁡ 4 x 3

Passo 3

Resolvendo a multiplicação teremos:

s e n   4 x 4 - s e n 3 4 x 12 + c

Resposta

s e n   4 x 4 - s e n 3 4 x 12 + c

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