Calcule a Integral abaixo:

11 - ∫ sen 3 ⁡ x cos 3 ⁡ x   d x

Passo 1

Primeiro vamos expandir a equação, observe:

∫ sen 3 ⁡ x ⋅ cos 2 ⁡ x ⋅ cos ⁡ x   d x

Dado pela identidade trigonométrica, cos 2 ⁡ x = 1 - sen 2 ⁡ x

Assim teremos:

∫ sen 3 ⁡ x ⋅ 1 - s e n 2 x ⋅ cos ⁡ x   d x

Vamos realizar pelo método da substituição, dado:

Como somos excelentes alunos é bom lembrar que u é o maior termo e du é a derivada de u.

u = s e n   x

d u =   c o s   x

d x = 1 d u = 1 c o s   x

Substituindo teremos:

∫ s e n 3 x ( 1 - sen 2 ⁡ x ) ⋅ cos ⁡ x ⋅ 1 c o s   x d u

Resolvendo a integral temos:

∫ s e n 3 x ( 1 - sen 2 ⁡ x ) cos ⁡ x cos ⁡ x d u

Substituindo por udu, teremos:

∫ u 3 1 - u 2 d u = ∫ u 3 - u 5 d x

Passo 2

Resolvendo a integral:

u 4 4 - u 6 6 + c

Substituindo para   u = s e n   x

s e n 4 x 4 - s e n 6 x 6 + c

Resposta

s e n 4 x 4 - s e n 6 x 6 + c

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