Resolve a integral abaixo:

46 –

∫ - π 4 π 4 6   t g 4 x   d x

Passo 1

Primeiramente vamos calcular a integral como indefinida, observe:

∫ 6   t g 4 x   d x = 6 ∫ t g 4 x   d x

Dado a fórula:

∫ t g n x   d x = 1 n - 1 ⋅ t g n - 1 x - ∫ t g n - 2 x   d x

Substituindo na fórmula:

∫ t g 4 x   d x = 1 4 - 1 ⋅ t g 4 - 1 x -   ∫ t g 4 - 2 x   d x

Assim:

6 1 3 ⋅ t g 3 x - ∫ t g 2 x   d x

Temos a propriedade de identidade trigonométrica:

t g 2 x = sec 2 ⁡ x - 1

Assim:

6 1 3 ⋅ t g 3 x - ∫ sec 2 ⁡ x - 1 d x = 6 1 3 ⋅ t g 3 x - ∫ sec 2 ⁡ x d x - ∫ 1   d x

6 1 3 ⋅ t g 3 x - ∫ sec 2 ⁡ x d x - x

Passo 2

Seja:

∫ sec 2 ⁡ x =   t g   x

6 1 3 ⋅ t g 3 x - t g   x - x = 6 1 3 t g 3 x - t g   x + x

Multiplicando por 6 :

6 3 t g 3 x - 6 t g x + 6 x

Passo 3

Utilizando os limites de integração:

2 t g 3 x - 6 t g x + 6 x - π 4 π 4

Substituindo:

2 t g 3 π 4 - 6 t g π 4 + 6 π 4 - 2 t g 3 - π 4 - 6 t g - π 4 + 6 - π 4

Dado:

t g   π 4 = 1 ; t g - π 4 = - 1 ;

2 ⋅ 1 - 6 ⋅ 1 + 6 π 4 - 2 ⋅ - 1 - 6 ⋅ - 1 - 6 π 4

Resolvendo:

2 - 6 + 3 π 2 - - 2 + 6 - 3 π 2 = - 4 + 3 π 2   - 4 - 3 π 2 = - 4 + 3 π 2 - 4 + 3 π 2

Resolvendo:

- 8 + 6 π 2 =   - 8 + 3 π

Resposta

- 8 + 3 π

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