Calcule a integral definida

∫ - 2 5 | x - 3 |   d x      

Passo 1

Vamos lembrar de algumas Propriedades de integral

∫ b a f x   d x     = F a - F b

∫ b a f x + g   x   d x =   ∫ b a f x   d x     +   ∫ b a g x   d x      

  ∫   x n =   x n + 1 n + 1    

Passo 2

Tenho que contar um segredo. Ninguém gosta de calcular função com modulo. Então quando vemos um modulo, pensamos em como podemos quebrar ele.

Por exemplo, observando o gráfico dessa função, vemos que para integrar temos como separar em 2 partes.Antes e depois do ponto de inflexão. Como a função é |x-3|. logo em x=3 é o ponto de inflexão.

Passo 3

Assim temos que a integral fica :

∫ - 2 5 x - 3 d x    

=   ∫ - 2 3 - ( x - 3 )   d x     +   ∫ 3 5 x - 3   d x    

Vamos integrar agora

  - x 2 2 + 3 x x =   - 2 3 + x 2 2 -   3 x   x = 3 5

- 1 2 ( 3 ) 2 - - 2 2 + 3 ( 3 - - 2 ) + 1 2 5 2 - 3 2 - 3 ( 5 - 3 )

=   29 / 2

Resposta

∫ - 2 5 | x - 3 |   d x =   29 2

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