Calcule a integral definida

∫ 0 1 x ( x 2 + 1   ) ³   d x      

Passo 1

Vamos lembrar de algumas Propriedade de integral

∫ b a f x   d x     = F a - F b

∫ b a f x + g   x   d x =   ∫ b a f x   d x     +   ∫ b a g x   d x      

  ∫   x n =   x n + 1 n + 1    

Passo 2

Primeira coisa a se fazer é não se assustar com essa integral

Sempre que uma equação parecer difícil, acredite em mim , sempre há um jeito de fazermos uma substituição.

E depois integrar ficar moleza. Então lembre, ficar difícil use Substituição.

∫ 0 1 x ( x 2 + 1   ) ³   d x    

Se você não está tão afiado assim, eu vou dar um truque. Use de preferência o denominador para substituir.

Então:

u       = x 2 + 1 ,

d u   =   2 x   d x   → d u 2 = x d x

Agora vamos alterar os limites de integração

u       = x 2 + 1 ,   s e   x = 0   ,   e n t a o   u = 1

s e   x = 1   ,   e n t a o   u = 2  

Logo ∫ 0 1 x ( x 2 + 1   ) ³   d x   fica ∫ 1 2 1 2 u ³   d u     , Com u variando no intervalo [2,1]

Passo 3

∫ 1 2 1 2 u ³   d u    

=       - 1 2   .   1 2 u 2 u = 1 2

=   - 1 4   1 2 2 - 1 1 2

=   3 16

Pronto. Viu como depois que substituímos ficou bem fácil? : )

Resposta

∫ 0 1 x ( x 2 + 1   ) ³   d x   =   3 16

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