Calcule a Integral abaixo:

17 - ∫ 0 π 8   s e n 4 x d x

Passo 1

Observação: Neste passo vamos considerar a integral dada como indefinida!

Vamos explicar uma propriedade de integral, utilizada para ∫ s e n n x d x , observe:

∫ s e n n x   d x =   - 1 n ⋅ s e n n - 1 x ⋅ cos ⁡ x + n - 1 n ⋅ ∫ s e n n - 2 x   d x

7 ∫ cos 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t + cos ⁡ t   d t

Vamos colocar em prática na integral indicada, vamos lá:

∫ 8 s e n 4 x   d x = 8 - 1 4 ⋅ s e n 4 - 1 x ⋅ cos ⁡ x + 4 - 1 4 ⋅ ∫ s e n 4 - 2 x   d x

Observe que como o 8 estava multiplicando a integral, ele foi colocado para fora, multiplicando toda a fórmula utilizada, agora desenvolveremos a expressão acima:

8 - 1 4 s e n 3 x ⋅ cos ⁡ x + 3 4 ⋅ ∫ s e n 2 x d x

Agora que temos a expressão quase pronta, vamos resolver a integral de ∫ s e n 2 x d x :

Dado pela identidade trigonométrica, s e n 2 x = 1   -  cos ⁡ ( 2 x ) 2

- Os valores de identidade trigonométrica são encontrados em tabelas prontas.

∫ 1 2 ⋅ ( 1 - cos ⁡ 2 x )   d x = 1 2 ∫ 1 - cos ⁡ 2 x   d x

1 2 ∫ 1 d x - ∫ cos ⁡ 2 x   d x

Dado ∫ 1   d x = x

1 2 x - ∫ cos ⁡ 2 x   d x

Resolvendo agora ∫ cos ⁡ 2 x   d x

Como somos excelentes alunos é bom lembrar que u é o maior termo e du é a derivada de u.

Passo 2

u = 2 x

d u = 2

d x = 1 d u = 1 2

∫ 1 2 * cos ⁡ u d u

1 2 ∫ cos ⁡ u d u

Dado: ∫ cos ⁡ u d u = s e n u + c

Assim:

s e n   ( u ) 2 + c = s e n   ( 2 x ) 2 + c

Juntando as equações:

1 2 x - s e n   ( 2 x ) 2

Montando nossa expressão inicial:

8 - 1 4 s e n 3 x ⋅ cos ⁡ x + 3 4 ⋅ 1 2 x - s e n ( 2 x ) 2 = 8 - s e n 3 x 4 ⋅ cos ⁡ x + 3 4   ⋅ x 2 - s e n 2 x 4

Resolvendo a multiplicação de 3 4 pela expressão teremos:

8 - s e n 3 x 4   ⋅ cos ⁡ x + 3 x 8 - 3 s e n 2 x 16

Passo 3

Multiplicando a expressão por 8:

- 8 s e n 3 x 4 ⋅ cos ⁡ x + 8 ⋅ 3 x 8 - 8 ⋅ 3 s e n 2 x 16 + c =   - 2 s e n 3 x ⋅ cos ⁡ x + 3 x - 3   s e n 2 x 2 + c

Agora vamos definir o limite de integração na expressão dada:

- 2 s e n 3 x ⋅ cos ⁡ x + 3 x - 3   s e n 2 x 2 + c 0 π

-   2   s e n 3 π ⋅ cos ⁡ π + 3 π - 3   s e n   2 π 2 + c - - 2 s e n 3 0 ⋅ cos ⁡ 0 + 3 ⋅ 0 - 3   s e n 0 2 + c  

Passo 4

Seja cos ⁡ π =   - 1   ; cos ⁡ 0 = 1 ; s e n π = 0   ; s e n 0 = 0   , teremos:

-   2 ⋅ 0 ⋅ - 1 + 3 π - 3 ⋅ 0 2 + c - - 2 ⋅ 0 ⋅ 1 ⁡ + 0 - 3 ⋅ 0 2 + c

Resolvendo:

0 + 3 π - 0 + c + 0 - 0 + 0 - c

Resposta

Logo a resposta correta é 3 π

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