Calcule a Integral abaixo:

18 - ∫ 8 cos 4 ⁡ 2 π x d x

Passo 1

Primeiramente vamos expandir a integral e passar a constante multiplicativa, neste caso o 8 para fora da integral, veja:

8 ∫ ( cos 2 ⁡ ( 2 π x ) ) 2 d x

Vamos realizar substituição, observe:

u =   2 π x

d u = 2 π

d x = 1 d u = 1 2 π

Desta forma temos:

8 ∫ 1 2 π ( cos 2 ⁡ ( u ) ) 2 d x = 8 2 π ∫ cos 2 ⁡ u 2 d u = 4 π ∫ cos 2 ⁡ u 2 d u

Assim teremos:

4 π ∫ cos 4 ⁡ u d u

Passo 2

Vamos explicar uma propriedade de integral, utilizada para ∫ cos n ⁡ ( x ) d x , observe:

∫ cos n ⁡ x   d x =   - 1 n ⋅ c o s n - 1 x ⋅ sen ⁡ x + n - 1 n ⋅ ∫ c o s n - 2 x   d x

7 ∫ cos 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t + cos ⁡ t   d t

Vamos colocar em prática na integral indicada, vamos lá:

4 π ∫ cos 4 ⁡ u   d u =   - 1 4 ⋅ cos 4 - 1 ⁡ u ⋅ s e n   u + 4 - 1 4 ⋅ ∫ cos 4 - 2 ⁡ u   d u

Deste modo teremos:

4 π - 1 4 ⋅ cos 3 ⁡ u ⋅ s e n   u + 3 4 ⋅ ∫ cos 2 ⁡ u   d u

Para desenvolver a fórmula, agora vamos resolver a integral de ∫ cos 2 ⁡ u   d u

Dado pela identidade trigonométrica, cos 2 ⁡ u = 1 +  cos ⁡ ( 2 u ) 2 = 1 2 ⋅ ( 1 + cos ⁡ 2 u )

- Os valores de identidade trigonométrica são encontrados em tabelas prontas !

Assim:

∫ 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 u )   d u

1 2 ∫ ( 1 + cos ⁡ 2 u )   d u = 1 2 ∫ 1   d u + ∫ cos ⁡ 2 u   d u

Sendo:

∫ 1   d u = u + c   ,   s e n d o   t a m b é m : ∫ cos ⁡ 2 u   d u = s e n ( 2 u ) 2 + c

Substituindo todo valor na expressão:

4 π - 1 4 ⋅ cos 3 ⁡ u ⋅ s e n   u + 3 4 ⋅ 1 2 ⋅ u + s e n   ( 2 u ) 2

Resolvendo a multiplicação:

4 π - 1 4 ⋅ cos 3 ⁡ u ⋅ s e n   u + 3 8 ⋅ u + s e n   ( 2 u ) 2 = 4 π - cos 3 ⁡ u 4 ⋅ s e n   u + 3 u 8 + 3 s e n 2 u 16 + c

Multiplicando a expressão por 4 π

- 4 cos 3 ⁡ u 4 π ⋅ s e n   u + 12 u 8 π + 12 s e n 2 u 16 π + c =   - 4 cos 3 ⁡ u 4 π ⋅ s e n   u + 12 u 8 π + 12 s e n 2 u 16 π + c

Passo 3

Substituindo u = 2 π x  

- 4 cos 3 ⁡ 2 π x 4 π ⋅ s e n   u + 12 ⋅ 2 π x 8 π + 12   s e n   2 ⋅ 2 π x 16 π + c

Resolvendo as multiplicações e simplificando a expressão:

- 4 cos 3 ⁡ 2 π x 4 π ⋅ s e n   2 π x + 24 π x 8 π + 12   s e n   4 π x 16 π + c

- cos 3 ⁡ 2 π x π ⋅ s e n   2 π x + 3 x + 3 s e n 4 π x 4 π + c

=   - 1 π cos 3 ⁡ 2 π x ⋅ s e n 2 π x + 3 x + 3 4 π s e n 4 π x + c

Resposta

=   - 1 π cos 3 ⁡ 2 π x s e n 2 π x + 3 x + 3 4 π s e n 4 π x + c

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