Calcule a integral.

∫ cos ⁡ x ln ⁡ ( s e n   x )   d x

Passo 1

Opa! Bora resolver essa integral aqui:

∫ cos ⁡ x ln ⁡ ( s e n   x )   d x

Precisamos resolver a integral usando integração por partes! Relembrando a técnica, temos que

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Mas antes de usarmos integral por partes, vamos fazer uma substituição t = s e n   x , de modo que d t = cos ⁡ x   d x . Assim:

∫ cos ⁡ x ln ⁡ ( s e n   x )   d x = ∫ ln ⁡ t   d t

Agora, vamos usar partes com u = ln ⁡ t e d v = d t , de modo que d u = d t / t e v = t . Desta forma,

∫ ln ⁡ t   d t = t ln ⁡ t - ∫ t d t t

∫ ln ⁡ t   d t = t ln ⁡ t - ∫ d t

Passo 2

Resolvemos a integral:

∫ d t = t

Assim, temos que:

∫ ln ⁡ t   d t = t ln ⁡ t - ∫ d t = t ln ⁡ t - t + C

Voltando a variável original:

∫ cos ⁡ x ln ⁡ ( s e n   x )   d x = s e n   x ln ⁡ ( s e n   x ) - s e n   x + C

Prontinho!

Resposta

s e n   x ln ⁡ ( s e n   x ) - s e n   x + C

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