Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = (x)/(x^2 - 9)

Passo 1

A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva. Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.

Passo 2

Como o denominador não pode se anular, devemos ter x^2 - 9 != 0 . Assim, x != +- 3 . Desta forma, o domínio da função

D_f = R - { - 3,3 }

Passo 3

A única interseção com os eixos coordenados ocorre em ( 0,0 ) .

Passo 4

Observe que a função é ímpar:

f (- x) = (- x)/((- x)^2 - 9) = - (x)/(x^2 - 9) = - f ( x )

Portanto, a curva é simétrica em relação à origem.

Passo 5

Vamos agora procurar possíveis assíntotas. Para x indo para +- oo :

underset(x -> - oo)(lim) (x)/(x^2 - 9) = underset(x -> + oo)(lim) (x)/(x^2 - 9) = 0

Assim, tanto para - oo como para + oo , a reta y = 0 é assíntota horizontal da função.

Como tanto x = - 3 como x = 3 não estão no domínio da função, temos que verificar se a curva tem assíntotas verticais nesses pontos. Para x = 3 :

underset(x -> 3^-)(lim) (x)/(x^2 - 9) = (3)/(0^-) = - oo

underset(x -> 3^+)(lim) (x)/(x^2 - 9) = (3)/(0^+) = + oo

Analogamente, para x = - 3 :

underset(x -> - 3^-)(lim) (x)/(x^2 - 9) = (- 3)/(0^+) = - oo

underset(x -> - 3^+)(lim) (x)/(x^2 - 9) = (- 3)/(0^-) = + oo

Assim, as retas x = - 3 e x = 3 são assíntotas verticais da curva.

Passo 6

Vamos estudar agora os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Calculando a primeira derivada:

y^' = (1 * (x^2 - 9) - x * 2 x)/((x^2 - 9)^2) = - (x^2 + 9)/((x^2 - 9)^2)

Como x^2 + 9 > 0 e (x^2 - 9)^2 > 0 , temos que y^' < 0 , de modo que a função será sempre decrescente em todo o seu domínio.

Passo 7

Por fim, vamos analisar a concavidade da curva. Fazendo a segunda derivada:

y^(' ') = - (2 x (x^2 - 9)^2 - (x^2 + 9) * 2 (x^2 - 9) * 2 x)/((x^2 - 9)^4) = - (2 x (x^2 - 9) - 4 x (x^2 + 9))/((x^2 - 9)^3)

Assim,

y^(' ') = (2 x ( x^2 + 27 ))/((x - 3)^3 (x + 3)^3)

Como x^2 + 27 > 0 , apenas o denominador vai importar para o sinal de y ' ' :

Resposta

O esboço da curva:

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