Enunciado

Calcule a integral.

int cos (ln x) d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos esse exercício vamos ter que resolver através do método da integração por partes. Nesse método, vamos utilizar as duas funções do integrando e transformá-las em outro fator mais fácil de calcular.

Então, pegando uma integral da forma:

int f (x) g (x) d x

Iremos fazer:

u = f (x) e d v = g (x) d x

E, a partir disso, vamos encontrar a derivada da função u e determinar a função v para substituir na fórmula da integral por partes dada por:

int u d v = u v - int v d u

Passo 2

Assim, para esse exercício temos:

int cos (ln x) d x

E supondo:

u = cos (ln x) e d v = d x

Conseguimos encontrar:

d u = - (1)/(x) s e n (ln x) d x

E:

v = int d x

Ou seja:

v = x

Passo 3

Então, substituindo na fórmula da integração por partes:

int cos (ln x) d x = (cos (ln x)) (x) - int (x) (- (1)/(x) s e n (ln x) d x)

Que pode ser reescrita como:

int cos (ln x) d x = x cos (ln x) + int s e n (ln x) d x

Passo 4

Aplicando a integração por partes novamente, agora supondo:

u = s e n (ln x) e d v = d x

Conseguimos encontrar:

d u = (1)/(x) cos (ln x) d x

E:

v = x

Teremos:

int cos (ln x) d x = x cos (ln x) + [(s e n (ln x)) (x) - int (x) ((1)/(x) cos (ln x) d x)]

Ou seja:

int cos (ln x) d x = x cos (ln x) + x s e n (ln x) - int cos (ln x) d x

Passo 5

Como há um termo semelhante nos dois lados da equação, podemos passar tudo para um lado só:

2 int cos (ln x) d x = x cos (ln x) + x s e n (ln x) + C

Logo:

int cos (ln x) d x = (1)/(2) [x cos (ln x) + x s e n (ln x)] + C

E tirando o fator comum:

int cos (ln x) d x = (1)/(2) x [cos (ln x) + s e n (ln x)] + C

Resposta

int cos (ln x) d x = (1)/(2) x [cos (ln x) + s e n (ln x)] + C

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