Enunciado

Calcule as integrais que convirjam.

int_0^3 (d x)/(x - 2)

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

int_0^3 (d x)/(x - 2)

O integrando não está definido para um valor entre os limites superior e inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

int_0^3 (d x)/(x - 2) = underset(a -> 2^-)(lim) int_0^a (d x)/(x - 2) + underset(b -> 2^+)(lim) int_b^3 (d x)/(x - 2)

Assim, caso um dos dois limites não existir, a integral será divergente. Para que ela seja convegente, os dois limites devem existir.

Passo 3

Assim, podemos verificar um limite de cada vez para fazer essa análise.

Dessa forma, resolvendo o primeiro limite (a escolha de qual limite resolver primeiro fica a seu critério, beleza?) através do método da substituição simples com:

u = x - 2 , t a l q u e d u = d x

Teremos:

Quando x = a -> u = a - 2

Quando x = 0 -> u = - 2

Logo:

underset(a -> 2^-)(lim) int_0^a (d x)/(x - 2) = underset(a -> 2^-)(lim) int_(- 2)^(a - 2) (d u)/(u)

E resolvendo a integral:

underset(a -> 2^-)(lim) int_(- 2)^(a - 2) (d u)/(u) = underset(a -> 2^-)(lim) (ln u) | [[a,-,2],[-,2]]

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

underset(a -> 2^-)(lim) int_0^a (d x)/(x - 2) = underset(a -> 2^-)(lim) (ln |a - 2| - ln |- 2|)

Logo:

underset(a -> 2^-)(lim) int_0^a (d x)/(x - 2) = - oo

Como um dos limites resultou em um valor infinito, não é necessário calcular o outro limite, já que isso faz com que a integral seja divergente.

Resposta

int_0^3 (d x)/(x - 2) = - oo

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