Enunciado

Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.

Passo 1

Para iniciar o exercício, pode-se reescrever a integral, tal que:

∫ t g 4 x d x = ∫ s e n 4 x cos 4 ⁡ x d x

Como s e n 2 x = 1 - c o s 2 x :

I = ∫ s e n 2 x 1 - c o s 2 x cos 4 ⁡ x d x = ∫ s e n 2 x - s e n 2 x   c o s 2 x cos 4 ⁡ x d x

I = ∫ t g 2 x   s e c 2 x   d x - ∫ s e n 2 x c o s 2 x d x

I = ∫ t g 2 x   s e c 2 x   d x - ∫ 1 - c o s 2 x c o s 2 x d x

Portanto:

I = ∫ t g 2 x   s e c 2 x   d x - ∫ s e c 2 x   d x + ∫ 1 d x

Passo 2

A primeira integral pode ser resolvida por substituição usando u = t g x e d u = s e c 2 x :

∫ t g 2 x   s e c 2 x   d x = ∫ u 2 d u = u 3 3

Logo:

∫ t g 2 x   s e c 2 x   d x = t g 3 x 3

Enquanto que as outras duas integrais podem ser resolvidas diretamente. Então:

I = ∫ t g 2 x   s e c 2 x   d x - ∫ s e c 2 x   d x + ∫ 1 d x

I = t g 3 x 3 - t g x + x + C

Como a integral é indefinida, deve-se adicionar uma constante arbitrária ao resultado da integral.

Resposta

t g 3 x 3 - t g x + x + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral35. ∫ tan 4 ⁡ x sec ⁡ x d x
Descreva as várias abordagens para calcular integrais da forma ∫ tan m ⁡ x ⋅ sec n ⁡ x d x Quais são os casos em que esses tipos de integrais se dividem? Quais são os procedimentos e as identidades us
Use a Fórmula (10) da Seção 7.2 e o método do Exercício 68 para deduzir as fórmulas de Wallis para cosseno: ∫ 0 π 2 sin n ⁡ x d x = π 2 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 … n - 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 … n np a r e ≥ 2 ∫ 0 π 2 sin n ⁡ x
Use as fórmulas de Wallis do Exercício 68 para calcular a ∫ 0 π 2 sin 3 ⁡ x d x b ∫ 0 π 2 sin 4 ⁡ x d x c ∫ 0 π 2 sin 5 ⁡ x d x d ∫ 0 π 2 sin 6 ⁡ x d x
Descreva as várias abordagens para calcular integrais da forma ∫ sin m ⁡ x ⋅ cos n ⁡ x d x Quais são os casos em que esses tipos de integrais se dividem? Quais são os procedimentos e as identidades us