Enunciado

As contas de qualquer integração por partes repetida podem ser organizadas usando integração por partes tabulada. Use essa organização para calcular ∫ e x cos ⁡ x d x   de duas maneiras: primeiro use derivação repetida de c o s ⁡ ( x ) (compare com o Exemplo 5) e, depois, derivação repetida de e x .

Passo 1

Podemos resolver o exercício utilizando Integração por partes tabulada, que consiste em derivar repetidamente uma das funções (geralmente o polinômio) até chegar em zero, ou no caso das funções trigonométrica até chegar novamente na própria função que será o termo restante, que será integrado juntamente com o último termo obtido pela integração repetida.

Após derivar repetidamente os termos, iremos traçar uma seta partindo da primeira entrada da coluna de derivação, até o ponto da coluna de integração na linha de baixo, e faremos isso até atingir o último termo e identificaremos com sinais + , - ... iniciando sempre com o sinal positivo. Bora lá?

Começando com a derivação repetida de c o s ⁡ ( x ) e integração repetida de e x :

Agora, vamos considerar os favores interligados pela seta, como uma multiplicação, inclusive de sinais. Dessa forma:

∫ e x cos ⁡ x d x = ( c o s ⁡ ( x ) ) ( + ) ( e x ) + ( s e n ( x ) ) ( - ) ( e x ) + ∫ ( e x ) ( - cos ⁡ x d x ( + )

Reorganizando, temos:

∫ e x cos ⁡ x d x = cos ⁡ x e x + s e n x e x - ∫ e x cos ⁡ x d x

Passando o termo de integral para o outro lado, temos:

2 ∫ e x cos ⁡ x d x = cos ⁡ x e x + s e n x e x + C

Isolando os termos em comum e dividindo os dois lados por 2, temos:

∫ e x cos ⁡ x d x = e x ( cos ⁡ x + s e n x ) 2 + C

Passo 2

Agora, começaremos com a derivação repetida de e x e integração repetida de c o s ⁡ ( x ) :

Agora, vamos considerar os favores interligados pela seta, como uma multiplicação, inclusive de sinais. Dessa forma:

∫ e x cos ⁡ x d x = ( s e n ( x ) ) ( + ) ( e x ) + ( - c o s ( x ) ) ( - ) ( e x ) + ∫ ( e x ) ( - cos ⁡ x d x ( + )

Reorganizando, temos:

∫ e x cos ⁡ x d x = cos ⁡ x e x + s e n x e x - ∫ e x cos ⁡ x d x

Passando o termo de integral para o outro lado, temos:

2 ∫ e x cos ⁡ x d x = cos ⁡ x e x + s e n x e x + C

Isolando os termos em comum e dividindo os dois lados por 2, temos:

∫ e x cos ⁡ x d x = e x ( cos ⁡ x + s e n x ) 2 + C

Resposta

∫ e x cos ⁡ x d x = e x ( cos ⁡ x + s e n x ) 2 + C

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