Enunciado

Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo x . Esboce a região e uma casca típica.

y = x 3 ,           y = 8 ,         x = 0

Passo 1

Opa, bora lá! Temos:

y = x 3 ,           y = 8 ,         x = 0

Para calcular usando o método das cascas cilíndricas temos que usar a seguinte fórmula:

V = ∫ a b 2 π y f y d y

Onde 2 π y corresponde a circunferência, f y a altura da casca e d y a espessura. Analisando a integral, precisamos achar quem é f y e quem são os limites de integração, vamos primeiro esboçar a região e uma casca para conseguir o que falta:

Nesta questão, nós temos que o cilindro estará deitado. Então a altura dele está indo do x = 0 até a nossa função y = x 3 . Deste modo, temos que nossa altura é f y = y 3 - 0 = y 3 , pois vamos integrar em função de y . Já os limites de integração são a = 0 e b = 8 .

Passo 2

Vamos agora substituir na equação e calcular:

V = ∫ a b 2 π y f y d y = ∫ 0 8 2 π y y 3   d y = 2 π ∫ 0 8 y 4 3   d y

Para resolver essa integral, temos que:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

V = 2 π ∫ 0 8 y 4 3   d y = 2 π 3 y 7 3 7 0 8 = 2 π 3 . 8 7 3 7 - 3 . 0 7 3 7 = 768 π 7

Prontinho!

Resposta

V = 768 π 7

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