Enunciado

Calcule a integral usando integração por partes tabulada.

∫ x 3 2 x + 1 d x

Passo 1

Podemos resolver o exercício utilizando Integração por partes tabulada, que consiste em derivar repetidamente uma das funções (geralmente o polinômio) até chegar em zero.

Após derivar repetidamente os termos, iremos traçar uma seta partindo da primeira entrada da coluna de derivação, até o ponto da coluna de integração na linha de baixo, e faremos isso até atingir o último termo e identificaremos com sinais + , - ... iniciando sempre com o sinal positivo. Bora lá?

Começando com a derivação repetida e integração repetida :

Agora, vamos considerar os favores interligados pela seta, como uma multiplicação, inclusive de sinais. Dessa forma:

∫ x 3 2 x + 1 d x = x 3 2 x + 1 3 2 3 + + 3 x 2 2 x + 1 5 2 15 - + 6 x 2 x + 1 7 2 105 + + 6 2 x + 1 9 2 945 ( - )

Multiplicando os termos, e calculando as divisões temos:

∫ x 3 2 x + 1 d x = x 3 2 x + 1 3 2 3 - x 2 2 x + 1 5 2 5 + 2 x 2 x + 1 7 2 3 5 - 2 2 x + 1 9 2 315 + C

Resposta

∫ x 3 2 x + 1 d x = x 3 2 x + 1 3 2 3 - x 2 2 x + 1 5 2 5 + 2 x 2 x + 1 7 2 35 - 2 2 x + 1 9 2 315 + C

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