Calcula a integral

∫ 0 π 2 2 - s e n   θ 2 d θ

Passo 1

Temos que calcular a integral definida dada. Parece bem difícil, né? Mas não é, pois, estarei aqui para te ajudar, amigo.

A gente tem um quadrado da diferença na integral, então vamos abrir as contas, ou seja,

2 - s e n   θ 2 =       4 - 4   s e n   θ + s e n 2 θ

Então, substituindo na integral,

∫ 0 π 2 2 - s e n   θ 2 d θ = ∫ 0 π 2     4 - 4   s e n   θ + s e n 2 θ d θ

Usando as propriedades de integral da soma e do produto de uma constante por uma função, iremos realizar uma integral de cada vez:

∫ 0 π 2 [     4 - 4   s e n   θ + s e n 2 θ ]   d θ = ∫ 0 π 2 4     d θ - 4 ∫ 0 π 2 s e n   θ   d θ + ∫ 0 π 2   s e n 2 θ   d θ  

Passo 2

Vamos resolver a última integral da igualdade anterior e depois substituir na conta, pois ela é quase uma questão (sério, é quase a questão 8). E as demais integrais são mais tranquilinhas, né...

Então bora começar por ela, pela ∫ 0 π 2   s e n 2 θ   d θ

Usando a identidade trigonométrica s e n 2   a = 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 a ) , temos que :

∫ 0 π 2   s e n 2 θ   d θ =   ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ  

Usando as regras de integrais,

∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ   =

∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ   = 1 2 ∫ 0 π 2     d θ - 1 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 θ d θ = θ 2 ​ 0 π 2 - 1 4 s e n 2 θ ​ 0 π 2 = π 4

1 2 ∫ 0 π 2     d θ - 1 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 θ d θ =

θ 2 ​ 0 π 2 - 1 4 s e n 2 θ ​ 0 π 2 = π 4

Se liga que o s e n 0 e s e n π valem 0 , por isso na hora de substituir ali em cima, ficamos apenas com π 4 ...

Passo 3

Vamos substituir na nossa integral inicial,

∫ 0 π 2 4     d θ - 4 ∫ 0 π 2 s e n   θ   d θ + ∫ 0 π 2   s e n 2 θ   d θ =   ∫ 0 π 2 4     d θ - 4 ∫ 0 π 2 s e n   θ   d θ + π 4

Encontrando as primitivas das outras integrais,

∫ 0 π 2 4     d θ - 4 ∫ 0 π 2 s e n   θ   d θ + π 4 = 4   θ ​ 0 π 2 + 4 cos ⁡ θ ​ 0 π 2 + π 4

Aplicando os limites de integração,

  4 θ ​ 0 π 2 + 4 cos ⁡ θ ​ 0 π 2 + π 4 = 2   π + 4 ⋅ 0 - 1 + π 4 = 9 π 4 - 4

Prontinho!

Resposta

∫ 0 π 2 2 - s e n   θ 2 d θ = 9 π 4 - 4

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