Enunciado

Calcule a integral.

int (1 + cos x)/(sen x) d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos simplificar um pouco a expressão:

int (1 + cos x)/(sen x) d x = int (1)/(sen x) + (cos x)/(sen x) d x = int (1)/(sen x) d x + int (cos x)/(sen x) d x = int cossec x d x + int (cos x)/(sen x) d x

A primeira integral já temos um formato pronto:

int cossec x d x = ln |cossec x - cotg x|

Na segunda vamos tentar fazer uma Substituição. Temos um seno no denominador e um cosseno no numerador, podemos tentar fazer com que u seja o seno, assim:

u = sen x

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = c o s d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int cossec x d x + int (cos x)/(sen x) d x = ln |cossec x - cotg x| + int (d u)/(u)

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

É fácil achar a primitiva da função que falta, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Então ficamos com:

int (d u)/(u) = ln |u| + C

Passo 3

Pronto, agora é ir só substituindo de volta:

int cossec x d x + int (cos x)/(sen x) d x = ln |cossec x - cotg x| + int (d u)/(u) = ln |cossec x - cotg x| + ln |u| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = sen x :

int (1 + cos x)/(sen x) d x = int cossec x d x + int (cos x)/(sen x) d x = ln |cossec x - cotg x| + ln |u| + C = ln |cossec x - cotg x| + ln |sen x| + C

Resposta

int (1 + cos x)/(sen x) d x = ln |cossec x - cotg x| + ln |sen x| + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize uma substituição para transformar a integral em outra que você possa encontrar na tabela. Em seguida, calcule a integral. ∫ t g - 1 yd y
Efetue a antidiferenciação ∫ 3 x - 4 3 d x
Efetue a antidiferenciação ∫ 1 - 4 y d y
Efetue a antidiferenciação ∫ 0 3 d x
a) ∫ 1 x + 1 ⋅ x - 1 d x