Calcule a integral.

∫ 1 + cos ⁡ x sen ⁡ x d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos simplificar um pouco a expressão:

∫ 1 + cos ⁡ x sen ⁡ x d x = ∫ 1 sen ⁡ x + cos ⁡ x sen ⁡ x d x = ∫ 1 sen ⁡ x d x + ∫ cos ⁡ x sen ⁡ x d x = ∫ cossec ⁡ x d x + ∫ cos ⁡ x sen ⁡ x d x

A primeira integral já temos um formato pronto:

∫ cossec ⁡ x d x = ln ⁡ cossec ⁡ x - cotg ⁡ x

Na segunda vamos tentar fazer uma Substituição. Temos um seno no denominador e um cosseno no numerador, podemos tentar fazer com que u seja o seno, assim:

u = sen ⁡ x

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = c o s   d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ cossec ⁡ x d x + ∫ cos ⁡ x sen ⁡ x d x = ln ⁡ cossec ⁡ x - cotg ⁡ x + ∫ d u u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

É fácil achar a primitiva da função que falta, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Então ficamos com:

∫ d u u = ln ⁡ u + C

Passo 3

Pronto, agora é ir só substituindo de volta:

∫ cossec ⁡ x d x + ∫ cos ⁡ x sen ⁡ x d x = ln ⁡ cossec ⁡ x - cotg ⁡ x + ∫ d u u = ln ⁡ cossec ⁡ x - cotg ⁡ x + ln ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = sen ⁡ x :

∫ 1 + cos ⁡ x sen ⁡ x d x = ∫ cossec ⁡ x d x + ∫ cos ⁡ x sen ⁡ x d x = ln ⁡ cossec ⁡ x - cotg ⁡ x + ln ⁡ u + C = ln ⁡ cossec ⁡ x - cotg ⁡ x + ln ⁡ sen ⁡ x + C

Resposta

∫ 1 + cos ⁡ x sen ⁡ x d x = ln ⁡ cossec ⁡ x - cotg ⁡ x + ln ⁡ sen ⁡ x + C

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