Calcule a integral.

∫ cos ⁡ x + sen ⁡ 2 x sen ⁡ x d x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui o iremos fazer é resolver essa integração, que a principio parece ser bem dificil. Mas tudo bem, magioritariamente as integrais trigonométricas devem ser manipuladas para que fiquem mais simples e possam ser integradas.

Passo 2

Primeiro vamos fazer algumas manipulações na expressão:

∫ cos ⁡ x + sen ⁡ 2 x sen ⁡ x d x = ∫ cos ⁡ x + 2 sen ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x d x

= ∫ cos ⁡ x sen ⁡ x d x + ∫ 2 sen ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x d x

= ∫ cos ⁡ x sen ⁡ x d x + ∫ 2 cos ⁡ x d x

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Com a primeira vamos fazer uma substituição:

u = sen ⁡ x

d u = cos ⁡ x   d x

Vamos substituir:

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x d x = ∫ 1 u d u

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Então ficamos com:

∫ cos ⁡ x sen ⁡ x d x = ∫ 1 u d u = ln ⁡ u + C

Passo 3

Agora com a segunda é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ cos ⁡ c x d x = sen ⁡ c x c + C

Então ficamos com:

∫ 2 cos ⁡ x d x = 2 ∫ cos ⁡ x d x = 2 sen ⁡ x + C

Agora vamos voltar a expressão original:

∫ cos ⁡ x + sen ⁡ 2 x sen ⁡ x d x = ∫ cos ⁡ x sen ⁡ x d x + ∫ 2 cos ⁡ x d x

= ln ⁡ u + 2 sen ⁡ x + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ cos ⁡ x + sen ⁡ 2 x sen ⁡ x d x = ln ⁡ u + 2 sen ⁡ x + C

= ln ⁡ sen ⁡ x + 2 sen ⁡ x + C

Resposta

∫ cos ⁡ x + sen ⁡ 2 x sen ⁡ x d x = ln ⁡ sen ⁡ x + 2 sen ⁡ x + C

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