Calcula a integral

∫ 0 π 2 s e n 2 1 3 θ d θ

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral.

Uma forma de facilitar a resolução de integrais trigonométricas é utilizar das identidades trigonométricas.

A gente tem uma identidade trigonométrica que nos diz que

s e n 2   a = 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 a )

Vamos usar essa identidade...

Então,

s e n 2 1 3 θ = 1 2 1 - cos ⁡ 2 3 θ

Substituindo na integral,

∫ 0 π 2 s e n 2 1 3 θ d θ   =     ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 2 3 θ 2   d θ

Passo 2

Usando as propriedades de integral da soma e do produto de uma constante por uma função,

∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 2 3 θ 2   d θ = 1 2 ∫ 0 π 2   d θ - 1 2 ∫ 0 π 2   cos ⁡ 2 3 θ d θ  

Encontrando as primitivas,

1 2 ∫ 0 π 2   d θ - 1 2 ∫ 0 π 2   cos ⁡ 2 3 θ d θ =     1 2 θ ​ 0 π 2 - 3 4   s e n 2 3 θ ​ 0 π 2

Aplicando os limites de integração,

1 2 θ ​ 0 π 2 - 3 4   s e n 2 3 θ ​ 0 π 2

= π 4 - 0 - 3 4 3 2 - 0 = 2 π - 3 3 8

Resposta

∫ 0 π 2 s e n 2 1 3 θ d θ = 2 π - 3 3 8

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