Calcule a integral:

∫ - π 2 π 6 cos ⁡ t   1 - sin ⁡ t     d t

Passo 1

Galera, para realizar essa integração vamos realizar a seguinte substituição:

u = 1 - sin ⁡ t  

d u = - cos ⁡ t   d t  

Assim,

∫ - 1 u   d u =   - ln ⁡ u  

Passo 2

Agora, voltamos para a variável inicial e aplicamos os limites de integração:

= - ln ⁡ (   1 - sin ⁡ t )     | π 6 - π 2

= - ln ⁡ 1 - sin ⁡ π 6   - (   1 - sin ⁡   - π 2  

=   - ln ⁡ 1 2 - ln ⁡ 2

=   - [ ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2 - ln ⁡ 2   ]

= - [   - 2 ln ⁡ 2   ]

= 2 ln ⁡ 2  

Resposta

2 ln ⁡ 2  

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