Enunciado

Calcule a integral definida

int_(- 1)^1 sqrt(| x | - x) d x

Passo 1

Propriedade de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() x^n = (x)/(n + 1)^(n + 1)

Passo 2

Lembra queremos fugir do modulo o máximo que podemos. Então vamos dividir nosso problema em 2. a parte para x>0 e x

Mas perai. Para x >0 a equação sqrt(x - x) = 0 . Olha só quer ótimo!!!, menos uma conta para nós.

Logo só nos interessa a parte onde x - 1 1 x - x     d x     =   - 1 0 - 2 x     d x

Vamos usar a seguinte propriedade de raiz.

Por exemplo

sqrt(a) . sqrt(b) = sqrt(a b)

Entao

sqrt(- 2 x) = sqrt(- 2) . sqrt(x)

sqrt(- 2) int_(- 1)^0 sqrt(x) d x

= ((2)/(3) sqrt(- 2) (x)^((3)/(2))|_(- 1)^0

Pronto conseguimos integrar. Agora vamos calcular os limites de integração

(2)/(3) sqrt(- 2) (0 - (- 1^(3 // 2 )))

(2)/(3) sqrt(- 2) (- (sqrt(- 1)))

Vamos precisar fazer uma jogada com números imaginários rapidinho, mas te garanto que eles vao sumir .

Só lembra antes sqrt(- 1) = i . Então nossa função fica :

(2)/(3) sqrt(2) i (- i)

Então Temos uma parte que é -(i²), se você está com números complexos afiados você lembra que isso é 1. Então Nossa integral fica

(2)/(3) sqrt(2)

Resposta

int_(- 1)^1 sqrt(| x | - x) d x = (2 sqrt(2))/(3)

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