Calcule a integral definida

∫ 0 π / 2 s e n   2 x   d x      

Passo 1

Pra resolver essa questão, a gente tem que saber que ∫ s e n   x   d x = - cos ⁡ x .

Beleza, mas não é essa a integral. Então vamos fazer uma substituição simples, pra que esse s e n   2 x fique com uma carinha mais amigável tipo s e n   u .

Vai ficar assim:

u = 2 x

E como vamos estar integrando em u e não mais em x, vamos ter que substituir d x também. Pra isso vamos derivar u:

d u = 2   d x

d u 2 = d x

Pronto, agora podemos substituir e integrar!

Passo 2

Substituindo:

∫ s e n   u 2   d u     = 1 2 ∫ s e n   u   d u  

=   - c o s   u 2

Vamos substituir u de volta pra x, pra podermos aplicar os limites de integração e calcular a integral:

=     - c o s 2 x 2 0 π 2

Passo 3

Resolvendo cosseno pros limites, temos que :

- 1 2 ( cos ⁡ π - cos ⁡ 0 )  

- 1 2 ( - 1 ⁡ - 1   ) = 2 2

= 1

Show! :D

Resposta

∫ 0 π / 2 s e n   2 x   d x = 1      

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