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Exercícios Resolvidos de Cálculo Volume 1 7ª Edição - James Stewart

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 7ª Edição - James Stewart - 5.5 - 58

Calcule a integral definida.

∫ 1 / 6 1 / 2 c o s s e c   π t   c o t g   π t   d t

Passo 1

Devemos aqui calcular a integral definida usando algum tipo de substituição. Outra coisa importante que podemos usar é que para a integral definida, podemos mudar os limites de integração quando fazemos uma substituição.

A derivada da cossecante é menos cossecante vezes cotangente. Assim, a primitiva de c o s s e c   x   c o t g   x é - c o s s e c   x . Isso vai ser útil para resolver essa integral. Por outro lado, o argumento π t pede que façamos uma substituição: x = π t , de modo que d x = π d t .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos então que d t = d x / π e que para t = 1 / 6 , x = π / 6 e para t = 1 / 2 , x = π / 2 . Assim,

∫ 1 / 6 1 / 2 c o s s e c   π t   c o t g   π t   d t = 1 π   ∫ π 6 π 2 c o s s e c   x   c o t g   x   d x = - 1 π   c o s s e c   x π 6 π 2

Assim,

∫ 1 / 6 1 / 2 c o s s e c   π t   c o t g   π t   d t = - 1 π   c o s s e c π 2 - c o s s e c π 6

Como c o s s e c   x = 1 / s e n   x , temos que

c o s s e c π 2 = 1 s e n   π / 2 = 1 1 = 1

c o s s e c π 6 = 1 s e n   π / 6 = 1 1 / 2 = 2

Desta forma:

∫ 1 / 6 1 / 2 c o s s e c   π t   c o t g   π t   d t = - 1 π   1 - 2 = 1 π

Resposta

1 π

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