Enunciado

Calcule a integral definida.

int_0^(pi) sec^2 ((t)/(4)) d t

Passo 1

Opa, bora resolver essa integral:

int_0^(pi) sec^2 ((t)/(4)) d t

O problema aqui é que a gente não consegue resolver ela direto usando as primitivas. Então vamos usar uma técnica de integração chamada Regra da Substituição, então mãos a massa!

Vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x , podemos então usar a mudança de variável:

u = (t)/(4)

Dica: o melhor u é aquele que simplifica a nossa integral! Além disso a derivada de u deve esta dentro da integral.

Derivando:

(d u)/(d t) = (1)/(4) -> d t = 4 d u

Além disso precisamos modificar os limites de integração:

u = (pi)/(4)

u = (0)/(4) = 0

Vamos agora fazer a substuição:

int_0^(pi // 4) sec^2 u 4 d u = 4 int_0^(pi // 4) sec^2 u d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Integrando:

4 int_0^((pi)/(4)) sec^2 u d u = 4 [t g u]_0^((pi)/(4))

Aplicando os limites de integração:

4 [t g u]_0^((pi)/(4)) = 4 (t g (pi)/(4) - t g 0) = 4

Prontinho!

Resposta

int_0^(pi) sec^2 ((t)/(4)) d t = 4

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