Calcule a integral definida.

∫ 2 / 2 1 x 3 2 - x 2   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Para esse integral vamos fazer a substituição u = 2 - x 2 . Assim,

d u = - 2 x   d x ⇒ x   d x = - d u 2

Além disso, x 2 = 2 - u e quando x = 2 / 2 , temos que u = 3 / 2 e para x = 1 ⇒ u = 1 :

I = ∫ 2 / 2 1 x 3 2 - x 2   d x = - 1 2 ∫ 3 2 1 2 - u u d u = 1 2 ∫ 1 3 / 2 2 u - 1 2 - u 1 2 d u

Passo 2

Efetuando a integral:

I = 1 2 2 ⋅ 2 u 1 2 - 2 3 u 3 2 1 3 / 2 = 2 u - 1 3 u 3 1 3 / 2

Assim,

I = 2 3 2 - 1 3 ⋅ 3 2 ⋅ 3 2 - 2 + 1 3

Portanto,

I = 3 2 3 2 - 5 3 = 3 4 6 - 5 3

Resposta

3 4 6 - 5 3

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