Calcule a integral definida:

∫ 0 4 d x 16 + x 2 3 2

Passo 1

Pessoal, podemos fazer essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta eu vou resolver a indefinida e no final a definida, ok? A primeira coisa que devemos fazer aqui para resolver essa integral indefinida é saber qual substituição trigonométrica usar.

Como nós temos x 2 + 4 2 no denominador, isso indica a substituição com a tangente, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x = 4 tan ⁡ θ .

Passo 2

Façamos então a substituição:

x = 4 tan ⁡ θ d x = 4 sec 2 ⁡ θ d θ

Dessa forma, x 2 = 16 tan 2 ⁡ θ     →       x 2 + 16 = 16 tan 2 ⁡ θ + 16 = 16 tan 2 ⁡ θ + 1 ⏞ sec 2 ⁡ θ = 4 2 sec 2 ⁡ θ .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável da integral utilizando:

∫ d x 16 + x 2 3 2 = ∫ 4 sec 2 ⁡ θ d θ 4 2 sec 2 ⁡ θ 3 2 = ∫ 4 sec 2 ⁡ θ d θ 4 sec ⁡ θ 3 = 4 4 3 ∫ d θ sec ⁡ θ = 1 16 ∫ cos ⁡ θ d θ

= 1 16 ( sen ⁡ θ ) + C

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo x = 16  tan ⁡ θ , temos:

∫ d x 16 + x 2 3 2 = 1 16 ( sen ⁡ θ ) + C

Para achar sen ⁡ θ nós olhamos o triângulo da substituição tangente construído no início e utilizamos essas relações trigonométricas. Temos então:

sen ⁡ θ = x x 2 + a 2 = x x 2 + 16

Dessa forma, o resultado da integral será:

∫ d x 4 + x 2 3 2 = x 16 x 2 + 16 + C

Passo 5

Agora vamos resolver a definida utilizando a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

∫ 0 4 d x 16 + x 2 3 2 = x 16 x 2 + 16   0 4 = 4 16 4 2 + 16 - 0 16 0 2 + 16 = 1 4 32 = 32 4 ⋅ 32 = 4 2 4 ⋅ 32

E esse é o resultado procurado.

Resposta

∫ 0 4 d x 16 + x 2 3 2 = 2 32

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados