Calcule a integral.

∫ 3 x 3 x 2 - 25 d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

∫ 3 x 3 x 2 - 25 d x

Vamos chamar:

x = 5 sec ⁡ θ

d x = 5 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

∫ 3 ( 1 25 sec 3 ⁡ θ ) ( 5 sec ⁡ θ ⋅ tan ⁡ θ ) ( 5 sec 2 ⁡ θ ) 2 - 25 d θ

= ∫ 3 75 sec 3 ⁡ θ 5 sec ⁡ θ ⋅ tan ⁡ θ 25 sec 2 ⁡ θ - 25 d θ

= ∫ 375 sec 3 ⁡ θ ( 5 sec ⁡ θ ⋅ tan ⁡ θ ) 25 sec 2 ⁡ θ - 1 d θ

= 3 75 ∫ 5 sec 4 ⁡ θ ⋅ tan ⁡ θ 5 sec 2 ⁡ θ - 1 d θ

Usamos então a indentidade trigonométrica, aí fica assim:

= 3 75 ∫ sec 4 ⁡ θ ⋅ tan ⁡ θ tan 2 ⁡ θ d θ

= 3 75 ∫ sec 4 ⁡ θ ⋅ tan ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

= 3 75 ∫ sec 4 ⁡ θ d θ

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x . Lembrando que sec 2 ⁡ θ = 1 + tan 2 ⁡ θ :

3 75 ∫ ( 1 + tan 2 ⁡ θ ) sec 2 ⁡ θ d θ

Fazendo a substituição u = tan ⁡ θ → d u = sec 2 ⁡ θ d θ :

375 ∫ 1 + u 2   d u = 375 u + u 3 3 + C

Voltando para o θ :

375 u + u 3 3 + C = 375 tan ⁡ θ + tan 3 ⁡ θ 3 + C

Aí então, voltamos para x :

375 x 2 - 25 5 + 1 3 x 2 - 25 5 3 + C =

= 375 x 2 - 25 5 + 1 3 75 x 2 - 25 3 / 2 + C =

= 75 x 2 - 25 + x 2 - 25 3 / 2 + C

Resposta

= 75 x 2 - 25 + x 2 - 25 3 / 2 + C

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