Calcule a integral indefinida:

∫ e t d t e 2 t + 8 e t + 7 3 2

Passo 1

Essa integral pode até assustar. Mas saca só a malandragem: e t aparece várias vezes. Pra simplificar nossa vida, que tal fazer uma substituição simples? Dá uma olhada:

u = e t

u 2 = e 2 t

E logo, vamos ter:

d u d t = e t → d u = e t d t

Todos esses termos aparecem na nossa integral! Nossa vida fica mais fácil assim:

∫ e t d t e 2 t + 8 e t + 7 3 2 = ∫ d u u 2 + 8 u + 7 3 2

Vamos pro próximo passo partindo daqui, ok?

Passo 2

Talvez ainda dê pra simplificar mais esse cara. Afinal, o denominador é um polinômio do segundo grau! Perceba que, se ele fosse:

u 2 + 8 u + 16

A gente poderia fazer:

u 2 + 8 u + 16 = u + 4 2

Não é exatamente isso que a gente tem, mas é quase isso! É o suficiente, no entanto, pra gente fazer a seguinte brincadeira:

∫ d u u 2 + 8 u + 7 3 2 = ∫ d u u 2 + 8 u + 16 - 9 3 2

Afinal, 16 - 9 = 7 que era o valor que tínhamos antes. Vamos ter então:

∫ d u u 2 + 8 u + 16 - 9 3 2 = ∫ d u u + 4 2 - 9 3 2

E daqui da pra fazer uma outra substituição simples pra reduzir nossa integral. Chamando:

x = u + 4

d x = d u

Vamos ter:

∫ d u u + 4 2 - 9 3 2 = ∫ d x x 2 - 9 3 2 = ∫ d x x 2 - 9 3

Passo 3

Beleza, olha, duas substituições simples depois, ficamos com a integral:

∫ d x x 2 - 9 3

E não é que essa integral tem maior cara de substituição trigonométrica? Saca só essa tabela:

E o nosso caso vai ser exatamente o da última linha! Aqui, vamos ter a 2 = 9 , logo a = 3 . Portanto, a substituição trigonométrica que vamos fazer é:

x = 3 sec ⁡ θ

d x = 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ   d θ

Podemos adiantar algumas contas se usarmos o triângulo auxiliar da tabela. Olhando pra ele, vemos que:

tan ⁡ θ = x 2 - 9 a

Trazendo pro nosso caso:

tan ⁡ θ = x 2 - 9 3

x 2 - 9 = 3 tan ⁡ θ

E logo:

∫ d x x 2 - 9 3 = ∫ 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ   d θ 3 tan ⁡ θ 3 = 3 3 3 ∫ sec ⁡ θ tan ⁡ θ   d θ tan 3 ⁡ θ

= 1 9 ∫ sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ   d θ = 1 9 ∫ 1 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ   d θ = 1 9 ∫ 1 cos ⁡ θ ∙ cos 2 ⁡ θ sen 2 ⁡ θ   d θ

= 1 9 ∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ   d θ

Passo 4

A essa altura você deve estar cansado de substituições. Te promeeeeeto que essa é a última. A integral que sobrou foi:

1 9 ∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ   d θ

Nota o seguinte, seno e cosseno são funções que se relacionam bem através de suas derivadas! Portanto se fizermos a substituição simples:

w = sen ⁡ θ

d w = cos ⁡ θ d θ

Transformamos a integral em:

1 9 ∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ   d θ = 1 9 ∫ d w w 2   = 1 9 ∫ w - 2 d w  

E pronto! Chega de substituições! Agora a gente resolve diretamente:

1 9 ∫ w - 2 d w   = 1 9 ∙ w - 1 - 1 = - 1 9 w

Passo 5

Vamos resumir essa bagunça hahaha a integral original virou:

∫ e t d t e 2 t + 8 e t + 7 3 2 = - 1 9 w

Mas a gente não começou exatamente com essa variável né, então vamos rever as substituições que fizemos, na ordem:

u = e t

x = u + 4

x = 3 sec ⁡ θ

w = sen ⁡ θ

Vamos escrever w = w t pra voltar pra variável original. Pelo triângulo auxiliar no passo 3 , vemos que:

w = sen ⁡ θ = x 2 - 9 x

Como x = u + 4 , temos:

w = u + 4 2 - 9 u + 4 = u 2 + 8 u + 16 - 9 u + 4 = u 2 + 8 u + 7 u + 4

Como u = e t , temos:

w = e 2 t + 8 e t + 7 e t + 4

E logo, nossa integral tem a seguinte resposta:

∫ e t d t e 2 t + 8 e t + 7 3 2 = - 1 9 e 2 t + 8 e t + 7 e t + 4

∫ e t d t e 2 t + 8 e t + 7 3 2 = - e t + 4 9 e 2 t + 8 e t + 7 + C

Resposta

∫ e t d t e 2 t + 8 e t + 7 3 2 = - e t + 4 9 e 2 t + 8 e t + 7 + C

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