Enunciado

Calcule a integral indefinida:

int (e^t d t)/((e^(2 t) + 8 e^t + 7)^((3)/(2)))

Passo 1

Essa integral pode até assustar. Mas saca só a malandragem: e^t aparece várias vezes. Pra simplificar nossa vida, que tal fazer uma substituição simples? Dá uma olhada:

u = e^t

u^2 = e^(2 t)

E logo, vamos ter:

(d u)/(d t) = e^t -> d u = e^t d t

Todos esses termos aparecem na nossa integral! Nossa vida fica mais fácil assim:

int (e^t d t)/((e^(2 t) + 8 e^t + 7)^((3)/(2))) = int (d u)/((u^2 + 8 u + 7)^((3)/(2)))

Vamos pro próximo passo partindo daqui, ok?

Passo 2

Talvez ainda dê pra simplificar mais esse cara. Afinal, o denominador é um polinômio do segundo grau! Perceba que, se ele fosse:

u^2 + 8 u + 16

A gente poderia fazer:

u^2 + 8 u + 16 = (u + 4)^2

Não é exatamente isso que a gente tem, mas é quase isso! É o suficiente, no entanto, pra gente fazer a seguinte brincadeira:

int (d u)/((u^2 + 8 u + 7)^((3)/(2))) = int (d u)/((u^2 + 8 u + 16 - 9)^((3)/(2)))

Afinal, 16 - 9 = 7 que era o valor que tínhamos antes. Vamos ter então:

int (d u)/((u^2 + 8 u + 16 - 9)^((3)/(2))) = int (d u)/(((u + 4)^2 - 9)^((3)/(2)))

E daqui da pra fazer uma outra substituição simples pra reduzir nossa integral. Chamando:

x = u + 4

d x = d u

Vamos ter:

int (d u)/(((u + 4)^2 - 9)^((3)/(2))) = int (d x)/((x^2 - 9)^((3)/(2))) = int (d x)/((sqrt(x^2 - 9))^3)

Passo 3

Beleza, olha, duas substituições simples depois, ficamos com a integral:

int (d x)/((sqrt(x^2 - 9))^3)

E não é que essa integral tem maior cara de substituição trigonométrica? Saca só essa tabela:

E o nosso caso vai ser exatamente o da última linha! Aqui, vamos ter a^2 = 9 , logo a = 3 . Portanto, a substituição trigonométrica que vamos fazer é:

x = 3 sec (theta)

d x = 3 sec (theta) tan (theta) d theta

Podemos adiantar algumas contas se usarmos o triângulo auxiliar da tabela. Olhando pra ele, vemos que:

tan (theta) = (sqrt(x^2 - 9))/(a)

Trazendo pro nosso caso:

tan (theta) = (sqrt(x^2 - 9))/(3)

sqrt(x^2 - 9) = 3 tan (theta)

E logo:

int (d x)/((sqrt(x^2 - 9))^3) = int (3 sec (theta) tan (theta) d theta)/((3 tan (theta))^3) = (3)/(3^3) int (sec (theta) tan (theta) d theta)/(tan^3 (theta))

= (1)/(9) int (sec (theta))/(tan^2 (theta)) d theta = (1)/(9) int ((1)/(cos (theta)))/((sen^2 (theta))/(cos^2 (theta))) d theta = (1)/(9) int (1)/(cos (theta)) * (cos^2 (theta))/(sen^2 (theta)) d theta

= (1)/(9) int (cos (theta))/(sen^2 (theta)) d theta

Passo 4

A essa altura você deve estar cansado de substituições. Te promeeeeeto que essa é a última. A integral que sobrou foi:

(1)/(9) int (cos (theta))/(sen^2 (theta)) d theta

Nota o seguinte, seno e cosseno são funções que se relacionam bem através de suas derivadas! Portanto se fizermos a substituição simples:

w = sen (theta)

d w = cos (theta) d theta

Transformamos a integral em:

(1)/(9) int (cos (theta))/(sen^2 (theta)) d theta = (1)/(9) int (d w)/(w^2) = (1)/(9) int w^(- 2) d w

E pronto! Chega de substituições! Agora a gente resolve diretamente:

(1)/(9) int w^(- 2) d w = (1)/(9) * (w^(- 1))/(- 1) = - (1)/(9 w)

Passo 5

Vamos resumir essa bagunça hahaha a integral original virou:

int (e^t d t)/((e^(2 t) + 8 e^t + 7)^((3)/(2))) = - (1)/(9 w)

Mas a gente não começou exatamente com essa variável né, então vamos rever as substituições que fizemos, na ordem:

u = e^t

x = u + 4

x = 3 sec (theta)

w = sen (theta)

Vamos escrever w = w (t) pra voltar pra variável original. Pelo triângulo auxiliar no passo 3 , vemos que:

w = sen (theta) = (sqrt(x^2 - 9))/(x)

Como x = u + 4 , temos:

w = (sqrt((u + 4)^2 - 9))/(u + 4) = (sqrt(u^2 + 8 u + 16 - 9))/(u + 4) = (sqrt(u^2 + 8 u + 7))/(u + 4)

Como u = e^t , temos:

w = (sqrt(e^(2 t) + 8 e^t + 7))/(e^t + 4)

E logo, nossa integral tem a seguinte resposta:

int (e^t d t)/((e^(2 t) + 8 e^t + 7)^((3)/(2))) = - (1)/(9 ((sqrt(e^(2 t) + 8 e^t + 7))/(e^t + 4)))

int (e^t d t)/((e^(2 t) + 8 e^t + 7)^((3)/(2))) = - (e^t + 4)/(9 sqrt(e^(2 t) + 8 e^t + 7)) + C

Resposta

int (e^t d t)/((e^(2 t) + 8 e^t + 7)^((3)/(2))) = - (e^t + 4)/(9 sqrt(e^(2 t) + 8 e^t + 7)) + C

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