Enunciado

Calcule a integral definida.

int_0^7 sqrt(4 + 3 x) d x

Passo 1

Devemos aqui calcular a integral definida usando algum tipo de substituição. É importante lembrar que quando fazemos uma substituição numa integral definida, podemos mudar também os extremos de integração. Não é obrigatório que façamos isso, mas simplifica bastante nossa vida!

Vamos tentar fazer a substituição usando o termo dentro da raiz: u = 4 + 3 x . Assim, d u = 3 d x .

Passo 2

Temos então que d x = d u // 3 . Além disso, quando x = 0 , u = 4 e para x = 7 => u = 4 + 3 * 7 = 25 . Assim, a integral fica

int_0^7 sqrt(4 + 3 x) d x = (1)/(3) int_4^(25) u^(1 // 2) d u = (1)/(3) [(u^(3 // 2))/(3 // 2)]_4^(25) = (2)/(9) [sqrt(u^3)]_4^(25) = (2)/(9) ((sqrt(25))^3 - (sqrt(4))^3)

Assim,

int_0^7 sqrt(4 + 3 x) d x = (2)/(9) (5^3 - 2^3) = (2)/(9) (125 - 8) = (2)/(9) * 117 = (234)/(9) = 26

Resposta

26

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