Enunciado

a) Se f x = e x / x 3 , encontre f ' ( x ) .

b) Verifique que se sua resposta da parte (a) é razoável comparando os gráficos f e f ' .

Passo 1

E aí! como vai?

Nesse problema foi dada a função

f x = e x x 3

E nosso objetivo é calcular f ' x e esboçar os gráficos de f e f ' para compara-los.

Parece complicado?

A primeira coisa que podemos perceber quando vemos a função f é que se trata de uma razão entre duas funções de x .

Por isso, para simplificar nossa vida podemos usar a regra do quociente.

f x = g x h x ,     f ' x = g ' x · h x - g x · h ' x h 2 x

Então bora encontrar g ' x e h ' x e substituir em f ' x .

Bora lá!

Passo 2

Comparando f x com a função da regra do quociente, podemos perceber que g x = e x e h x = x 3 .

A derivada de g x é obtida pelo teorema fundamental do calculo onde a derivada de e x é ele mesmo.

g ' x = e x

Já a derivada de h x é obtida pela regra da potencia.

h ' x = 3 x 3 - 1 = 3 x 2

Substituindo em f ' x , vamos obter

f ' x = g ' x · h x - g x · h ' x h 2 x

f ' x = e x · x 3 - e x · 3 x 2 x 3 2

Simplificando...

f ' x = e x x 2 x - 3 x 6

Podemos simplificar o numerador com o grau do denominador fazendo...

f ' x = e x x 2 x - 3 x 2 x 4

f ' x = e x x - 3 x 4

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora temos que esboçar o gráfico de f e f ' para compara-los...

Começando por f x = e x x 3

Como temos x no denominador e com grau impar, quando x tende a 0 vamos ter uma divergência onde se x → 0 - o denominador tende a 0 porem negativo e como o numerador em x = 0 é 1 , a função f tende a - ∞ em x → 0 - e da mesma forma, tende a + ∞ em x → 0 + .

Quando x decresce, para valores negativos, f x tende a 0 e quando x cresce positivamente a função tende a pois e x tende a mais rapidamente que x 3 .

Sacou?

Agora vamos analisar a função

f ' x = e x x - 3 x 4

A mesma coisa que vimos anteriormente para f serve para f ' tambem, porém, agora o denominador é de grau par, assim quando x → 0 , o denominador é positivo para ambos os lados e o numerador é negativo, então f ' tende a - ∞ quando x → 0 .

Esboçando ambas as curvas, temos que (em vermelho f e em azul f ' )

Note que no ponto em que a curva azul se anula, a curva vermelha tem tangente horizontal. Além disso, na região em que a curva vermelha é descrescente, a curva azul é negativa.

Isso corrobora para que nossa resposta do item (a) esteja correta.

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

f ' x = e x x - 3 x 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

6. A figura abaixo mostra o gráfico de s versus t para uma formiga movendo-se ao longo de um cano estreito vertical (um eixo s com sentido positivo para cima).a) Quando, se é que ocorre, a formiga ati
1. Abaixo estão os gráficos de três funções posição. Em cada caso, determine o sinal da velocidade e o da aceleração e, então, se a partícula está aumentando ou diminuindo a velocidade.
3. Abaixo está o gráfico de uma função posição de uma partícula movendo-se em um eixo horizontal x .a) A partícula está se movendo para a esquerda ou para a direita no instante t 0 ?b) A aceleração é
2. Abaixo estão os gráficos de três funções velocidade. Em cada caso, determine o sinal da aceleração e, então, se a partícula está aumentando ou diminuindo a velocidade.
2. Abaixo estão os gráficos de três funções velocidade. Em cada caso, determine o sinal da aceleração e, então, se a partícula está aumentando ou diminuindo a velocidade.