Enunciado

Calcule a integral fazendo a substituição dada.

int x (4 + x^2)^(10) d x , u = 4 + x^2

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... queremos calcular a seguinte integral indefinida:

int x (4 + x^2)^(10) d x

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, e já nos foi dada qual substituição usar, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 4 + x^2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 0 + 2 x d x = 2 x d x -> x d x = (1)/(2) d u

Vamos agora fazer a substuição:

int x (4 + x^2)^(10) d x = int u^(10) ((1)/(2) d u) = int (u^(10))/(2) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá!!

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int (u^(10))/(2) d u = (1)/(2) int u^(10) d u = (1)/(2) * ((u^(10 + 1))/(10 + 1)) = (1)/(2) * (u^(11))/(11) = (u^(11))/(22) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = 4 + x^2 :

int x (4 + x^2)^(10) d x = int (u^(10))/(2) d u :.

int x (4 + x^2)^(10) d x = (u^(11))/(22) + C :.

int x (4 + x^2)^(10) d x = ((4 + x^2)^(11))/(22) + C

Resposta

int x (4 + x^2)^(10) d x = ((4 + x^2)^(11))/(22) + C

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