Enunciado

Calcule a integral definida.

int_0^((1)/(2)) (a r c s e n x)/(sqrt(1 - x^2)) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida fazendo uma mudança de variável. Lembre-se que quando mudamos a variável, podemos mudar também os limites de integração.

Vale lembrar que a derivada do a r c s e n x é exatamente (1)/(sqrt(1 - x^2)) . Assim, se fizermos u = a r c s e n x , obtemos que d u = (d x)/(sqrt(1 - x^2)) .

Passo 2

Para x = 0 , u = a r c s e n 0 = 0 ; já para x = 1 // 2 , u = a r c s e n (1)/(2) = (pi)/(6) . Assim, a integral fica

int_0^((1)/(2)) (a r c s e n x)/(sqrt(1 - x^2)) d x = int_0^((pi)/(6)) u d u = [(u^2)/(2)]_0^((pi)/(6)) = (1)/(2) ((pi)/(6))^2 = (pi^2)/(72)

Resposta

(pi^2)/(72)

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Use a entrada indicada na Tabela de Integrais no fim do livro para calcular a integral. ∫ 3 x 3 - 2 x d x ; e n t r a d a55