Enunciado

Calcule a integral definida.

int_0^4 (x)/(sqrt(1 + 2 x)) d x

Passo 1

E aí, pessoal! 😊

A questão pede para calcularmos a integral definida e pra isso podemos fazer uma mudança de variável.

Lembre-se que quando mudamos a variável, podemos mudar também os limites de integração.

Veja só! 😉

Vamos fazer u = 1 + 2 x , de tal forma que d u = 2 d x . Além disso, isolando x na equação, temos

x = (u - 1)/(2)

Basicamente o que vamos fazer é aplicar o método da substituição.

Bora lá! 😬

Passo 2

Temos que d x = d u // 2 e também que para x = 0 temos u = 1 e para x = 4 , u = 9 . Assim, a integral fica

int_0^4 (x)/(sqrt(1 + 2 x)) d x = int_1^9 (u - 1)/(2) * (1)/(sqrt(u)) (d u)/(2)

int_0^4 (x)/(sqrt(1 + 2 x)) d x = (1)/(4) int_1^9 (u - 1)/(u^(1 // 2)) d u

int_0^4 (x)/(sqrt(1 + 2 x)) d x = (1)/(4) int_1^9 (u^(1 // 2) - u^(- 1 // 2)) d u

Calculando a integral:

(1)/(4) int_1^9 (u^(1 // 2) - u^(- 1 // 2)) d u = (1)/(4) [(u^(3 // 2))/(3 // 2) - (u^(1 // 2))/(1 // 2)]_1^9

(1)/(4) int_1^9 (u^(1 // 2) - u^(- 1 // 2)) d u = (1)/(2) [((sqrt(u))^3)/(3) - sqrt(u)]_1^9

Substituindo e simplificando...

(1)/(4) int_1^9 (u^(1 // 2) - u^(- 1 // 2)) d u = (1)/(2) [(3^3)/(3) - 3 - ((1^3)/(3) - 1)]

(1)/(4) int_1^9 (u^(1 // 2) - u^(- 1 // 2)) d u = (10)/(3)

E como int_0^4 (x)/(sqrt(1 + 2 x)) d x = (1)/(4) int_1^9 (u^(1 // 2) - u^(- 1 // 2)) d u , então

int_0^4 (x)/(sqrt(1 + 2 x)) d x = (10)/(3)

Achou tranquilo? Responde Aí! 😬

Resposta

int_0^4 (x)/(sqrt(1 + 2 x)) d x = (10)/(3)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ 2 3 1 x 2 4 x 2 - 7 d x
Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ x 2 csch ⁡ x 3 + 1 d x
Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ sin ⁡ 2 θ 5 - sin ⁡ θ d θ
Use um sistema de computação algébrica para calcular a integral. Compare a resposta com o resultado usando as tabelas. Se as respostas forem diferentes, mostre que elas são equivalentes. ∫ x 2 1 + x 3
Verifique a fórmula 53 na Tabela de Integrais a por derivação e b pela substituição t = a + b u .