Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (cos ( pi // x ))/(x^2) d x

Passo 1

Opa, bora resolver essa integral:

int (cos ( pi // x ))/(x^2) d x

O problema aqui é que a gente não consegue resolver ela direto usando as primitivas. Então vamos usar uma técnica de integração chamada Regra da Substituição, então mãos a massa!

Vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x , podemos então usar a mudança de variável:

u = (pi)/(x)

Dica: o melhor u é aquele que simplifica a nossa integral! Além disso a derivada de u deve esta dentro da integral.

(d u)/(d x) = - pi x^(- 2) -> d x = - (x^2)/(pi) d u

Vamos agora fazer a substuição:

int (cos ( pi // x ))/(x^2) d x = int (cos u)/(x^2) (- (x^2)/(pi) d u)

- (1)/(pi) int cos u d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora vamos integrar:

- (1)/(pi) int cos u d u = - (sin u)/(pi) + C

Voltando a variável original:

int (cos ( pi // x ))/(x^2) d x = - (1)/(pi) sin ((pi)/(x)) + C

Prontinho!

Resposta

int (cos ( pi // x ))/(x^2) d x = - (1)/(pi) sin ((pi)/(x)) + C

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