Enunciado

Calcule a integral definida.

int_0^1 x e^(- x^2) d x

Passo 1

Devemos aqui calcular a integral definida usando algum tipo de substituição. Outra coisa importante que podemos usar é que para a integral definida, podemos mudar os limites de integração quando fazemos uma substituição.

Como a derivada de - x^2 é - 2 x , vamos fazer u = - x^2 , de modo que d u = - 2 x d x .

Passo 2

Temos então que x d x = - d u // 2 . Além disso, quando x = 0 , u = 0 e quando x = 1 , u = - 1 . Desta forma, a integral fica

int_0^1 x e^(- x^2) d x = - (1)/(2) int_0^(- 1) e^u d u = (1)/(2) int_(- 1)^0 e^u d u

Eu inverti o sinal da integral com os limites da integração na última passagem. Calculando a integral:

int_0^1 x e^(- x^2) d x = (1)/(2) [e^u]_(- 1)^0 = (1)/(2) (e^0 - e^(- 1)) = (1)/(2) (1 - (1)/(e))

Resposta

(1)/(2) (1 - (1)/(e))

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