Enunciado

Calcule a integral definida.

int_1^2 x sqrt(x - 1) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida fazendo uma mudança de variável. Lembre-se que quando mudamos a variável, podemos mudar também os limites de integração.

Vamos tentar escrever a integral como uma soma de potências. Para isso, vamos tomar u = x - 1 , assim d u = d x . Além disso, temos que x = u + 1 .

Passo 2

Quando x = 1 , u = 0 e para x = 2 , u = 1 . Trocando x por u + 1 , a integral fica

int_1^2 x sqrt(x - 1) d x = int_0^1 (u + 1) sqrt(u) d u = int_0^1 u^(1 // 2) (u + 1) d u = int_0^1 (u^(3 // 2) + u^(1 // 2)) d u

Fazendo a integral:

int_1^2 x sqrt(x - 1) d x = [(u^(5 // 2))/(5 // 2) + (u^(3 // 2))/(3 // 2)]_0^1 = (2)/(5) + (2)/(3) - 0 = (16)/(15)

Resposta

(16)/(15)

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