Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (x)/(root(4)(x + 2)) d x

Passo 1

Precisamos calcular a integral usando algum tipo de substituição.

Bom, para resolvermos essa integral vamos ter que simplificar o denominador de modo que dê para escrevê-la como uma integral de potências de uma nova variável u . Para isso, vamos fazer a substituição u = x + 2 . Assim, d u = d x e x = u - 2 .

Passo 2

Fazendo a mudança de variável, a integral fica

int (x)/(root(4)(x + 2)) d x = int (u - 2)/(root(4)(u)) d u = int (u - 2)/(u^(1 // 4)) d u = int (u^(3 // 4) - 2 u^(- 1 // 4)) d u

Calculando a integral:

int (x)/(root(4)(x + 2)) d x = (u^(7 // 4))/(7 // 4) - (2 u^(3 // 4))/(3 // 4) + C = (4)/(7) u^(7 // 4) - (8)/(3) u^(3 // 4) + C

Passo 3

Voltando a variável original:

int (x)/(root(4)(x + 2)) d x = (4)/(7) ( x + 2 )^(7 // 4) - (8)/(3) ( x + 2 )^(3 // 4) + C

Resposta

(4)/(7) ( x + 2 )^(7 // 4) - (8)/(3) ( x + 2 )^(3 // 4) + C

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