Enunciado

Calcule a integral definida.

int_(1 // 6)^(1 // 2) c o s s e c pi t c o t g pi t d t

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Devemos calcular a seguinte integral:

int_(1 // 6)^(1 // 2) csc pi t cot pi t d t

Lembrando que:

csc pi t cot pi t = (1)/(sin pi t) (cos pi t)/(sin pi t) = (cos �� pi t)/(sin^2 pi t)

Então a nossa integral fica:

int_(1 // 6)^(1 // 2) (cos pi t)/(sin^2 pi t) d t

Agora vamos resolver! O problema aqui é que a gente não consegue resolver ela direto usando as primitivas. Então vamos usar uma técnica de integração chamada Regra da Substituição, então mãos a massa!

Vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x , podemos então usar a mudança de variável:

u = pi t

Dica: o melhor u é aquele que simplifica a nossa integral! Além disso a derivada de u deve esta dentro da integral.

Derivamos:

(d u)/(d t) = pi -> d t = (1)/(pi) d u

Fazendo a substituição a integral fica:

int_a^b (cos u)/(sin^2 u) ((1)/(pi) d u) = (1)/(pi) int_a^b (cos u)/(sin^2 u) d u

Temos que mudar os limites de integração:

u = pi t

u = pi (1)/(2)

u = pi (1)/(6)

Então:

(1)/(pi) int_(pi // 6)^(pi // 2) (cos u)/(sin^2 u) d u

Passo 2

Beleza, mas ainda assim a gente não consegue resolver essa integral! Vamos então fazer outra substituição:

(1)/(pi) int_(pi // 6)^(pi // 2) (cos u)/(sin^2 u) d u

v = sin u

(d v)/(d u) = cos u -> d u = (1)/(cos u) d v

De novo precisamos mudar as variáveis:

v = sin u

v = sin (pi)/(2)

v = sin (pi)/(6)

Substituindo:

(1)/(pi) int_(sin pi // 6)^(sin pi // 2) (cos u)/(v^2) ((1)/(cos u) d v)

(1)/(pi) int_(sin pi // 6)^(sin pi // 2) (1)/(v^2) d v = (1)/(pi) int_(sin pi // 6)^(sin pi // 2) v^(- 2) d v

Passo 3

Agora sim a gente integra:

(1)/(pi) int_(sin pi // 6)^(sin pi // 2) v^(- 2) d v = (1)/(pi) [(v^(- 1))/(- 1)]_(sin pi // 6)^(sin pi // 2)

(1)/(pi) [(v^(- 1))/(- 1)]_(sin pi // 6)^(sin pi // 2) = (1)/(pi) [- (1)/(sin pi // 2) - (- (1)/(sin pi // 6))]

Temos que:

(1)/(s e n pi // 2) = (1)/(1) = 1

(1)/(s e n pi // 6) = (1)/(1 // 2) = 2

Desta forma:

int_(1 // 6)^(1 // 2) csc pi t cot pi t d t = (1)/(pi)

Prontinho!

Resposta

int_(1 // 6)^(1 // 2) csc pi t cot pi t d t = (1)/(pi)

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