Calcule a integral definida abaixo:

∫ 0 π s e n 2 ( 5 r )     d r

Passo 1

Para resolver esta integral precisamos recordar primeiramente a seguinte propriedade trigonométrica:

s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Assim, temos que:

∫ 0 π s e n 2 5 r   d r =   ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 2 × 5 r 2   d r =   ∫ 0 π 1 - cos ⁡ 10 r 2   d r

Passo 2

Vamos retirar a constante e aplicar a propriedade da soma e da diferença. Ela nos diz que quando temos duas funções dentro da integral sendo somadas ou subtraídas podemos separa-las em outra integrais, preservando o mesmo limite de integração. De forma matemática temos:

∫ a b ( f x ± g ( x ) )   d x =   ∫ a b f x d x ±   ∫ a b g x d x

Assim, temos que :

∫ 0 π 1 - cos ⁡ 10 r 2   d r = 1 2 ∫ 0 π ( 1 - cos ⁡ 10 r ) d r = 1 2   ∫ 0 π d r -   1 2 ∫ 0 π c o s ⁡ ( 10 r )   d r

Passo 3

Vamos agora efetuar a integração e substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função. Assim, temos:

1 2   ∫ 0 π d r -   1 2 ∫ 0 π c o s ⁡ ( 10 r )   d r = 1 2 r π 0 - 1 2 s e n 10 r 10 π 0 =

= 1 2 π - 0 - 1 20 s e n 10 π - s e n 0 = π 2

Resposta

π 2

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