Enunciado

Calcule a integral definida abaixo:

int_0^(pi) s e n^2 ( 5 r ) d r

Passo 1

Para resolver esta integral precisamos recordar primeiramente a seguinte propriedade trigonométrica:

s e n^2 (x) = (1 - cos (2 x))/(2)

Assim, temos que:

int_0^(pi) s e n^2 (5 r) d r = int_0^(pi) (1 - cos (2 xx 5 r))/(2) d r = int_0^(pi) (1 - cos (10 r))/(2) d r

Passo 2

Vamos retirar a constante e aplicar a propriedade da soma e da diferença. Ela nos diz que quando temos duas funções dentro da integral sendo somadas ou subtraídas podemos separa-las em outra integrais, preservando o mesmo limite de integração. De forma matemática temos:

int_a^b ( f (x) +- g ( x ) ) d x = int_a^b f (x) d x +- int_a^b g (x) d x

Assim, temos que :

int_0^(pi) (1 - cos (10 r))/(2) d r = (1)/(2) int_0^(pi) ( 1 - cos (10 r) ) d r = (1)/(2) int_0^(pi) d r - (1)/(2) int_0^(pi) c o s ( 10 r ) d r

Passo 3

Vamos agora efetuar a integração e substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função. Assim, temos:

(1)/(2) int_0^(pi) d r - (1)/(2) int_0^(pi) c o s ( 10 r ) d r = (1)/(2) (r) (pi)/(0) - (1)/(2) ((s e n (10 r))/(10)) (pi)/(0) =

= (1)/(2) (pi - 0) - (1)/(20) (s e n (10 pi) - s e n (0)) = (pi)/(2)

Resposta

(pi)/(2)

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